Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI sur l'intégration

Résumé du document

Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI (Maths, Physique et Sciences de l'Ingénieur) sur l'intégration. Cours détaillé suivi d'une série d'exercices types corrigés.

Extraits

[...] C'est donc en particulier un R espace vectoriel pour les lois usuelles somme et produit par une constante. De plus la correspondance de vers R définie par f ( est une forme linéaire, comme le prouvent les deux calculs élémentaires suivants : (pour ( réel quelconque) Nous noterons aussi que le passage à l'intégrale sur un segment respecte l'ordre. En effet il est clair que si f est positive sur chacune des valeurs constantes définissant f sur les ouverts du partage P seront positives et par suite la somme explicitant l'intégrale le sera aussi. [...]

[...] On en déduit par intégration sur le segment : , puis par utilisation du théorème d'encadrement. La formule de Taylor à l'ordre 1 en 0 se traduit pour l'exponentielle restreinte à par : eu avec ( u et K=sup{eu ; u On en déduit pour eu=1+u+r(u) avec Appliqué à , cela donne Or pour tout x de on a , dont on déduit Notons alors que un-1= On en tire d'après l'encadrement précédent de sur la relation suivante : Ceci permet de conclure : En intégrant par parties ; il vient : Or Ainsi : 6. [...]

[...] Préciser aussi les valeurs exactes des sources On pose u0=3 et pour tout entier n : Vérifier par récurrence que les termes de cette suite sont tous bien définis et éléments de l'intervalle 3]. Montrer que pour tout n : En déduire alors les limites pour n tendant vers de un et de Soit f une fonction de classe C2 sur telle que f(1)=f'(1)=0 Montrer que 10. On considère une fonction f de vers croissante et continue sur cet intervalle. On suppose de plus que que f est dérivable en 1 et que f'(1)(0 Montrer que . [...]

[...] La fonction ( est de classe C1 sur I et s'y dérive en . On en déduit Ainsi, sur : On effectue une étude analogue sur tout intervalle de ne contenant pas - 15. Considérons l'application ( de R vers définie par t (x=((t)=2Arctan(t) Le changement de variable ci dessus étant bijectif et de classe C1, les primitives sur I de la fonction f donnée seront du type G avec définies sur R. Or cos(x)= et . On en déduit : sur R Ainsi, sur : La fonction F définie sur I par la formule x se prolonge alors par continuité en une primitive de f sur en posant et Vu la périodicité et la continuité de f on construit alors facilement par raccordements successifs une primitive sur R entier en utilisant le schéma suivant : _ On commence par translater selon l'axe des abscisses le motif primitif initial de et on ajoute une constante ) de façon que le raccordement soit continu en _ On obtient alors une primitive sur I1 que l'on translate à nouveau ‘horizontalement' de 2 ( et verticalement de la même constante C. [...]

[...] Avec cette convention la formule d'intégration par parties se résume à : En utilisant la notation abusive des primitives sur un intervalle, on peut aussi dire que les primitives sur I du produit u.v' se déduiront des primitives de u'.v par la formule condensée : . Changement de variable d'intégration. Théorème. Soit f une fonction continue sur un intervalle I de ( une fonction de classe C1 sur un intervalle J de R à valeurs dans I et un couple d'éléments de J. [...]