Mathématiques : les fractions rationnelles

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les fractions rationnelles, comportant une série de 20 exercices corrigés pour mettre le cours en application.

Extraits

[...] En faisant intervenir cette relation dans a l'égalité on en déduit alors 2x=a+1. La seule valeur possible est donc x = a 3 qui sera effectivement racine double si = 1 ou encore si a 2 Vu la factorisation évidente en il apparaît que 1 est la seule valeur réelle possible pour a. On a dans ce cas La décomposition de la fraction donnée, de pôle double 1 et pôle simple s'obtient X 4 3X + 7 X + 1 5X + + facilement : 3 X 3X + 2 ( X X + X 1 ( X X + Une première division de X6 par donneX6=(X²+X+1)(X4-X3+X-1)+1 et conduit à l'apparition d'un premier élément simple : X X 4 X 3 + X = + . [...]

[...] Si on réunit ainsi deux à deux ces éléments associés on obtient des sommes du type : X ) α α α( X a ) k + α ( X k avec P à coefficients réels (vu par + = = k k k ( X (α + α ) X + α ( X exemple le développement des puissances suivant la formule du binôme), et trinôme du second degré à coefficients réels de discriminant strictement négatif. Ces éléments sont bien maintenant à coefficients réels mais ils ne sont pas ‘simples' car le degré du numérateur P peut être élevé. (Il est au plus égal à k et égal à k si le coefficient α n'est pas imaginaire pur). Effectuons alors la division Euclidienne de P par T. [...]

[...] On appelle partie polaire de F relative à un pôle ai de cette fraction dans une décomposition k = ri α , k ) . en éléments simples de F du type décrit ci dessus, la quantité Fi ( X ) = k k ( X ai ) Cette quantité ne dépend aucunement de la façon d'obtenir la dite décomposition. En effet remarquons que en multipliant par ( X ai ) ri on obtient une égalité du type : Gi ( X ) = F ( X X ai ) ri = k = ri k , k ) ( X ai ) ri k + ( X ai ) ri H i ( X ) ; ai n'étant pas pôle de Hi On en déduit d'après les règles de dérivation, que : ri } Gi ( ri k ) (ai ) = (ri k , k ) La partie polaire de F relative au pôle Fi s'exprime donc de manière unique sous la forme : Fi ( X ) = k = ri ) Gi i (ai ) k k ( ri k X ai ) avec Gi ( X ) = F ( X X ai ) ri Synthèse . [...]

[...] Théorème : Toute fraction rationnelle se décompose de manière unique comme somme d'un polynôme avec une fraction dont le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. A et effectuons la division Euclidienne de A B par B. Cela se traduit par : A=B.Q+R avec R polynômes et R nul ou de degré strictement inférieur à celui de B. En divisant par B on obtient bien un schéma conforme à nos exigences, soit : A R F = = Q + avec degré(R) [...]

[...] Quand à celle d'ordre elle prendra la valeur , donc sera non nulle. On retrouve donc une caractérisation analogue à celle des racines multiples des polynômes : a est zéro d'ordre n de la fraction F et Formule de Taylor avec reste. Soit F une fraction rationnelle n'admettant pas a pour pôle. Pour tout entier la différence k F ( k ) ) ( X a ) k est une fraction rationnelle dont toutes les dérivées F ( X ) k ! [...]