Les fonctions de référence

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Prépa avec graphiques et démonstrations sur les fonctions de référence. Ce cours est suivi d'exercices corrigés.

Extraits

[...] 𝑓 est strictement croissante sur 𝑎 + 1[. On a : 1 𝑓 0 et 𝑓 𝑎 + 1 = ln(𝑎 + ln(𝑎) 𝑎+1 D'après la question précédente, on en déduit que 0 = 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑎 + ln(𝑎 + + ln(𝑎) 𝑎+ Pour 𝑎 = on obtient ln 2 2 Pour 𝑎 = on obtient ln 3 ln 2 Pour 𝑎 = on obtient ln 4 ln 2 On en déduit que : ln 2 + + + + = ln 4 > 1 La fonction ln est continue et strictement croissante sur donc établit une bijection de dans ln 4]. [...]

[...] Conclusion : La fonction 𝑖𝑛 est strictement croissante sur ] si 𝑛 est pair. La fonction 𝑖𝑛 est strictement décroissante sur ] si 𝑛 est impair Il est clair que 2 + 𝑥 0 si et seulement si 𝑥 Dans le cas où 𝑥 l'équation à résoudre est donc successivement équivalente à : 2 + 𝑥 + 2 + 2𝑥 = 𝑥 2 𝑥 2 3𝑥 4 = 0 𝑥 2 Valeurs qui sont bien supérieures à Dans le cas où 𝑥 [...]

[...] Définitions 𝑓 est paire sur 𝐼 si et seulement si 𝐼 est symétrique par rapport à 0 et : ∀𝑥 𝐼, 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑓 est impaire sur 𝐼 si et seulement si 𝐼 est symétrique par rapport à 0 et : ∀𝑥 𝐼, 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) 𝑓 est périodique de période 𝑇 (𝑇 [...]

[...] Pour tout couple de réels (𝑥; 𝑦), on a : 𝑥+𝑦 𝑥 + 𝑦 Cette inégalité est appelée inégalité triangulaire. De plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si les réels 𝑥 et 𝑦 sont de même signe. 𝑥 = La fonction valeur absolue est continue sur La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] ; et est strictement croissante sur ; La fonction valeur absolue est dérivable sur] ; et sur ; . Elle n'est pas dérivable en 0. Page 3 Mathématiques EC1 Fonction racine carrée Définitions Soit 𝑎 un réel positif. [...]

[...] On appelle fonction puissance 𝑛 la fonction : 𝑝𝑛 ℝ ℝ 𝑛 𝑥 si 𝑛 > 0 𝑥 1 si 𝑛 = 0 Propositions Pour tout couple (𝑚; 𝑛) d'entiers naturels et pour tout réel 𝑥, on a : 𝑥 𝑚 +𝑛 = 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 et 𝑥𝑚 𝑥𝑛 = 𝑥 𝑚 −𝑛 si 𝑥 0 Les fonctions puissances entières sont continues sur Soit 𝑛 un entier naturel. La fonction puissance 𝑛 est paire (resp. impaire) si et seulement si l'entier 𝑛 est pair (resp. impair). Les fonctions puissances sont croissantes sur Les fonctions puissance entières sont dérivables sur De plus, pour tout entier naturel 𝑛 et pour tout réel 𝑥, on a : 𝑛−1 si 𝑛>0 𝑝𝑛 = 𝑛𝑥 𝑂 si 𝑛=0 Page 2 Mathématiques EC1 Fonction valeur absolue Définitions Soit 𝑥 un réel. [...]