Mathématiques : raisonnement, fonctions usuelles, dérivées, matrices, etc.
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Une proposition est un énoncé qui peut prendre deux valeurs logiques : V (vrai) ou F (faux).
En mathématiques, on part d'un petit nombre de propositions que l'on suppose vraies (les axiomes) et l'on essaie d'étendre le nombre d'énoncés vrais au moyen de démonstrations. Pour cela on utilise des règles de logique.
A partir de deux propositions quelconques A et B, on en fabrique de nouvelles dont on définit la valeur logique en fonction des valeurs logiques de A et de B.
(...) L'évaluation des nouvelles propositions en fonction de la valeur des anciennes paraît naturelle sauf pour l'implication. En effet, si la proposition A vaut F, quelle que soit la valeur de vérité de la proposition B, la proposition A = B sera évaluée à V. On utilise en mathématiques l'implication pour obtenir de nouveaux résultats (...)
Sommaire
I) Raisonnement, ensembles
A. Logique B. Ensembles C. Applications D. Familles E. Relations 1. Relation d'équivalence 2. Relation d'ordre F. Loi de composition interne
II) Les nombres complexes
A. Définitions B. Rappels de trigonométrie C. Exponentielle imaginaire et applications en trigonométrie D. Racines d'un nombre complexe 1. Extraction de racine carrée par résolution algébrique 2. Extraction de racine carrée par résolution trigonométrique 3. Equation du second degré 4. Racines nièmes de l'unité 5. Racines nièmes d'un nombre complexe
III) Fonctions usuelles
A. Théorèmes d'analyse admis B. Calcul pratique de dérivées 1. Exponentielles, logarithmes 2. Fonctions puissance 3. Fonctions hyperboliques et circulaires 4. Fonctions circulaires réciproques 5. Fonctions hyperboliques réciproques 6. Etude d'une fonction 7. Fonction exponentielle complexe
IV) Équations différentielles
A. Rappels d'intégration B. Caractérisations de la fonction exponentielle C. Equations du premier ordre linéaires 1. Résolution de l'équation homogène 2. Résolution de l'équation avec second membre 3. Méthode d'Euler 4. Equations différentielles du second ordre à coefficients constants 1. Résolution de l'équation homogène 2. Résolution de l'équation avec second membre exponentielle-polynôme
V) Géométrie du plan
A. Points, vecteurs B. Modes de repérage dans le plan C. produit scalaire, produit mixte D. Droites E. Cercles
VI) Géométrie de l'espace
A. Modes de repérage dans l'espace B. Produit scalaire C. Produit vectoriel D. Déterminant , produit mixte E. Droites et plans F. Sphères
VII) Courbes paramétrées
A. Fonctions à valeurs dans R² B. Courbes paramétrées C. Plan d'étude d'une courbe paramétrée D. Courbes polaires 1. Etude d'une courbe p = f (0) 2. La cardioïde 3. La strophoïde droite E. Coniques 1. Equation polaire d'une conique 2. Equations cartésiennes réduites 3. Courbes algébriques du second degré
VIII) Les nombres réels
A. Valeur absolue, majorer, minorer B. Borne supérieure
IX) Suites réelles
A. Définitions B. Limite d'une suite C. Théorèmes généraux sur les suites D. Suites et séries géométriques E. Suites extraites F. Suites monotones G. Etude de suites récurrentes 1. La fonction f est croissante sur un intervalle stable 2. La fonction f est décroissante sur un intervalle stable 3. Quelques relations de récurrences classiques H. Suites complexes I. Relations de comparaison 1. Recherche pratique d'équivalents
X) Fonctions d'une variable réelle
A. Vocabulaire B. Etude locale d'une fonction C. Etude locale d'une fonction D. Propriétés globales des fonctions continues
XI) Dérivées
A. Dérivée B. Dérivées successives C. Théorème de Rolle et des accroissements finis D. Fonctions connexes
XII) Les entiers naturels
A. Les entiers naturels 1. Propriétés fondamentales 2. Ensembles finis 3. Dénombrements fondamentaux 4. Propriétés des coefficients binômiaux 5. Numérotation en base b B. Les entiers relatifs 1. Congruences C. Structure de groupe D. Structure d'anneau 1. Arithmétique dans Z 2. Nombres premiers 3. Applications de l'arithmétique
XIII) Espaces vectoriels
A. Structure de corps B. Espaces vectoriels C. Sous-espaces vectoriels D. Sous-espaces affines E. Systèmes libres, générateurs F. Applications linéaires G. Structure d'algèbre H. Projecteurs I. Formes linéaires
XIV) Polynômes
A. Définitions B. Arithmétique des polynômes C. Fonctions polynômiales. Racines d'un polynôme D. Dérivation, formule de Taylor E. Relations coefficients-racines pour les polynômes scindés F. Décomposition d'un polynôme en facteurs irréductibles
XV) Intégration
A. Construction de l'intégrale 1. Intégrale d'une fonction en escalier 2. Intégrale d'une fonction continue par morceaux 3. Notations définitives et majorations fondamentales d'intégrales B. Le théorème fondamental du calcul C. Changement de variables, intégration par parties D. Formules de Taylor E. Méthodes numériques de calcul d'intégrales F. Fonction à valeurs complexes
XVI) Espaces vectoriels en dimension finie
A. Définitions B. Dimension d'un espace vectoriel C. Sous-espaces vectoriels en dimension finie D. Applications linéaires en dimension finie - formule du rang E. Endomorphismes en dimension finie
XVII) Matrices
A. Définition d'une matrice B. Matrice d'une application linéaire relativement à deux bases C. Produit matriciel D. L'algèbre des matrices carrées E. Matrices remarquables 1. Matrices scalaires 2. Matrices diagonales 3. Matrices triangulaires 4. Matrices symétriques, antisymétriques F. Le groupe des matrices inversibles G. Changement de bases 1. Matrices de passage 2. Changement de coordonnées 3. Matrices semblables H. Rang d'une matrice
XVIII) Développements limites ETC
A. Définitions B. Développements limités classiques 1. Obtention par Taylor-Young 2. Obtention de DL par primitivation 3. Produit de DL 4. Obtention de DL par composition C. Applications des développements limités 1. Recherche de limites et d'équivalents 2. Prolongement d'une fonction 3. Branches infinies d'une courbe y = f(x) 4. Etude locale des courbes paramétrées 5. Branches infinies des courbes paramétrées 6. Equations différentielles non-normalisées
XIX) Applications affines
A. Groupe symétrique 1. Cycles, transpositions 2. Signature d'une permutation B. Formes n-linéaires alternées C. Déterminant d'un système de vecteurs dans une base D. Déterminant d'une endomorphisme E. Calcul de déterminants
XX) Systèmes d'équations linéaires
A. Interprétations d'un système 1. Interprétation vectorielle 2. Interprétation matricielle 3. Interprétation linéaire 4. Interprétation duale 5. Structure de l'ensemble des solutions B. Systèmes de Cramer C. Opérations élémentaires D. Méthode du pivot de Gauss
XXI) Calcul de primitives
A. Calcul pratique de primitives 1. Primitives usuelles à connaître par coeur B. Fractions rationnelles 1. Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle 2. Décomposition en éléments simple dans C(X) C. Décomposition en éléments simples dans R(X) D. Primitives de fractions rationnelles E. Primitives rationnelles en sin, cos F. Primitives rationnelles en sh, ch G. Primitives avec des racines
XXII) Produit scalaire
A. Définitions et règles de calcul B. Orthogonalité C. Espaces euclidiens D. Matrice de produit scalaire E. Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales F. Projecteurs et symétries orthogonaux G. Espaces euclidiens orientés. Produit mixte H. Produit vectoriel I. Etude du groupe orthogonal 1. Etude du groupe orthogonal en dimension 2 2. Etude du groupe orthogonal en dimension 3
XXIII) Fonctions de deux variables
A. Continuité d'une fonction de deux variables B. Dérivées partielles C. Extrémas d'une fonction de deux variables D. Dérivées partielles d'ordre supérieur E. Intégrales doubles F. Changement de variables G. Aire d'un domaine plan
XXIV) Propriétés métriques des courbes planes
A. Rectification des courbes planes 1. Notations différentielles 2. Abscisse curviligne, longueur 3. Courbure 4. Calcul pratique de la courbure B. Centre de courbure
Chapitre XXV) Applications affines
A. Points-vecteurs B. Sous-espaces affines C. Barycentres D. Applications affines E. Isométries affines F. Similitudes
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Extraits
[...] Ne JAMAIS ´ecrire f 0 bien que cela ait une signification pr´ecise (i.e. f est nulle dans un voisinage de a). Il ne faut pas confondre cette notation avec celle de certains physiciens f ' g (cos x ' 1 x 2 qui est un d´eveloppement limit´e cach´e alors que cos x 1 Le principal int´erˆet des ´equivalents est de remplacer localement une fonction compliqu´ee par une fonction plus simple (par exemple pour la recherche de limites). Par exemple, au voisinage de x 2 + x x mais ´egalement x2 + x x2 + 2x + On choisira le premier ´equivalent en pratique car il est le plus simple a ` manier eor` eme 10.16 : Un equivalent donne localement le signe Soient deux fonctions f,g : I R et un point a I. [...]
[...] eor` eme 16.8 : Cardinal d'une base Si E est de dimension finie, toutes les bases de E ont mˆeme cardinal. efinition 16.2 : dimension d'un ev Si E = on dit que E est de dimension 0 : dim E = 0. Si E est un espace vectoriel de dimension finie non-nul, on appelle dimension de le cardinal commun des bases de E et l'on note n = dim E. Remarque 182. K n est un K-ev de dimension n. [...]
[...] On dit qu'une fonction y : I C est une solution de l'´equation diff´erentielle : y 00 + ay 0 + by = f si 1. y est une fonction deux fois d´erivable sur I ; 2. y 00 + ay 0 + by(t) = f On notera SE l'ensemble des solutions de sur I esolution de l'´ equation homog` ene On consid`ere l'´equation homog`ene y 00 + ay 0 + by = 0 : et l'on note SH l'ensemble de ses solutions sur I. eor` eme 4.10 : Structure de l'ensemble des solutions SH est un C-ev de dimension 2. [...]
[...] eor` eme 11.14 : Caract´ erisation des fonctions constantes, monotones On suppose que : H1 f est une fonction continue sur le segment ; H2 On a f est d´erivable sur l'intervalle ouvert les r´esultats suivants : f 0 0 f est croissante sur[a,b] ; f 0 > 0 f est strictement croissante sur ; f 0 = 0 f est constante sur le segment . Remarque 107. Ces r´esultats s'´etendent a ` un intervalle quelconque I : si une fonction f : I R est d´erivable sur l'int´erieur de l'intervalle et si pour tout point x int´erieur a ` f 0 > alors la fonction f est strictement croissante sur I. On a les mˆemes caract´erisations pour les fonctions d´ecroissantes. [...]
[...] On appelle boule ouverte de centre a et de rayon p x2 + y = E kx ak 0 tel que la boule ouverte de centre a et de rayon r soit incluse dans U . On consid`ere maintenant une partie U R2 ouverte et une fonction de deux variables : R f U Remarque 257. [...]
