Les espaces euclidiens en Mathématiques

Nicolas B.

Commandez une rédaction : Cours en Mathématiques sur mesure

Devis en ligne gratuit

Cours Format .pdf

Les espaces euclidiens en Mathématiques

Télécharger

Lire un extrait

Lecture
Résumé
Sommaire
Extraits

Résumé du document

Fiche résumée de cours de Mathématiques de niveau Maths SUP sur les espaces euclidiens. Ce document résume toutes les propriétés essentielles des espaces euclidiens.

Sommaire

I) Définition d'un produit scalaire
II) Définition d'un espace préhibertien réel
III) Définition d'un espace euclidien
IV) Norme associée à un produit scalaire
V) Inégalité de Minkowski
VI) Inégalité de Cauchy Schwartz
VII) Vecteurs orthogonaux - Vecteurs unitaires
VIII) Relation de Pythagore
IX) Le produit scalaire usuel sur Rn
X) Le produit scalaire usuel sur C0 ([0,1],R)
XI) Famille orthogonale - Famille orthonormale
XII) Une propriété sur les familles orthonormales
XIII) Orthogonal d'une partie
XIV) Des propriétés sur l'orthogonal de A
XV) Orthogonal d'un sous-espace-vectoriel de E
XVI) Existence de bases orthonormales en dimension finie
XVII) Procédé de Gram-Schmidt
XVIII) Cas d'un sous-espace vectoriel de E de dimension finie
XIX) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
XX) Expression d'une projection orthogonale
XXI) Symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace-vectoriel de dimension finie
XXII) Lien entre projection orthogonale et symétrie orthogonale
XXIII) Distance entre un vecteur de E et un sous-espace vectoriel de E de dimension finie
XXIV) Propriétés de la distance entre un vecteur de E et F

Accédez gratuitement au plan de ce document en vous connectant.

Extraits

[...] Les espaces euclidiens Définition d'un produit scalaire HYPOTHESES E est un R‐ev. On appelle produit scalaire sur E toute application : E 2 vérifiant les conditions suivantes : u , v )Î E 2 : = (Propriété de symétrie). u , v , w )Î E 3 et "aÎR : = a. + (Propriété de bilinéarité). u ÎE : 0. [...]

[...] + un : C'est la relation de Pythagore. Le produit scalaire usuel sur R n HYPOTHESES u = xn) et v = yn) sont deux vecteurs de R . r r n On pose = x1.y1 + + xn.yn. n s'appelle le produit scalaire usuel sur R . r r Le produit scalaire usuel sur C 0 R ) HYPOTHESES g : sont deux fonctions continues sur 1]. On pose [...]

[...] F est un sous‐espace vectoriel de F étant de DIMENSION FINIE. pF est la projection orthogonale sur F. u est un vecteur fixé de E. r On appelle distance entre le vecteur u et le sous‐espace vectoriel F le nombre réel suivant : r r r d(u , F ) = u - pF ) . r Propriétés de la distance entre un vecteur de E et F HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. F est un sous‐espace vectoriel de F étant de DIMENSION FINIE. [...]

[...] On peut alors affirmer que : ^ est un sous‐espace vectoriel de E. ^ ^ *Si A = { u u alors on a A = [Vect( u u n 1 n r r r r Orthogonal d'un sousespacevectoriel de E HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. F est un sous‐espace vectoriel de E. ^ On a alors FÇF = { o ^ La somme FÅF est donc directe. r Existence de bases orthonormales en dimension finie HYPOTHESES ) est un R‐espace vectoriel euclidien. [...]

[...] La relation : , v ) Î E 2 : u . v s'appelle l'inégalité de Cauchy‐Schwarz. r r r r r r Vecteurs orthogonauxVecteurs unitaires HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. r r r r *On dit que deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux si l'on a : = 0. *On dit qu'un vecteur u de E est unitaire si l'on a : u = r r Relation de Pythagore HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. [...]

pdf