Fiche résumée de cours de Mathématiques de niveau Maths SUP sur les espaces euclidiens. Ce document résume toutes les propriétés essentielles des espaces euclidiens.
Sommaire
I) Définition d'un produit scalaire II) Définition d'un espace préhibertien réel III) Définition d'un espace euclidien IV) Norme associée à un produit scalaire V) Inégalité de Minkowski VI) Inégalité de Cauchy Schwartz VII) Vecteurs orthogonaux - Vecteurs unitaires VIII) Relation de Pythagore IX) Le produit scalaire usuel sur Rn X) Le produit scalaire usuel sur C0 ([0,1],R) XI) Famille orthogonale - Famille orthonormale XII) Une propriété sur les familles orthonormales XIII) Orthogonal d'une partie XIV) Des propriétés sur l'orthogonal de A XV) Orthogonal d'un sous-espace-vectoriel de E XVI) Existence de bases orthonormales en dimension finie XVII) Procédé de Gram-Schmidt XVIII) Cas d'un sous-espace vectoriel de E de dimension finie XIX) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie XX) Expression d'une projection orthogonale XXI) Symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace-vectoriel de dimension finie XXII) Lien entre projection orthogonale et symétrie orthogonale XXIII) Distance entre un vecteur de E et un sous-espace vectoriel de E de dimension finie XXIV) Propriétés de la distance entre un vecteur de E et F
I) Définition d'un produit scalaire II) Définition d'un espace préhibertien réel III) Définition d'un espace euclidien IV) Norme associée à un produit scalaire V) Inégalité de Minkowski VI) Inégalité de Cauchy Schwartz VII) Vecteurs orthogonaux - Vecteurs unitaires VIII) Relation de Pythagore IX) Le produit scalaire usuel sur Rn X) Le produit scalaire usuel sur C0 ([0,1],R) XI) Famille orthogonale - Famille orthonormale XII) Une propriété sur les familles orthonormales XIII) Orthogonal d'une partie XIV) Des propriétés sur l'orthogonal de A XV) Orthogonal d'un sous-espace-vectoriel de E XVI) Existence de bases orthonormales en dimension finie XVII) Procédé de Gram-Schmidt XVIII) Cas d'un sous-espace vectoriel de E de dimension finie XIX) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie XX) Expression d'une projection orthogonale XXI) Symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace-vectoriel de dimension finie XXII) Lien entre projection orthogonale et symétrie orthogonale XXIII) Distance entre un vecteur de E et un sous-espace vectoriel de E de dimension finie XXIV) Propriétés de la distance entre un vecteur de E et F
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Extraits
[...] Les espaces euclidiens Définition d'un produit scalaire HYPOTHESES E est un R‐ev. On appelle produit scalaire sur E toute application : E 2 vérifiant les conditions suivantes : u , v )Î E 2 : = (Propriété de symétrie). u , v , w )Î E 3 et "aÎR : = a. + (Propriété de bilinéarité). u ÎE : 0. [...]
[...] + un : C'est la relation de Pythagore. Le produit scalaire usuel sur R n HYPOTHESES u = xn) et v = yn) sont deux vecteurs de R . r r n On pose = x1.y1 + + xn.yn. n s'appelle le produit scalaire usuel sur R . r r Le produit scalaire usuel sur C 0 R ) HYPOTHESES g : sont deux fonctions continues sur 1]. On pose [...]
[...] F est un sous‐espace vectoriel de F étant de DIMENSION FINIE. pF est la projection orthogonale sur F. u est un vecteur fixé de E. r On appelle distance entre le vecteur u et le sous‐espace vectoriel F le nombre réel suivant : r r r d(u , F ) = u - pF ) . r Propriétés de la distance entre un vecteur de E et F HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. F est un sous‐espace vectoriel de F étant de DIMENSION FINIE. [...]
[...] On peut alors affirmer que : ^ est un sous‐espace vectoriel de E. ^ ^ *Si A = { u u alors on a A = [Vect( u u n 1 n r r r r Orthogonal d'un sousespacevectoriel de E HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. F est un sous‐espace vectoriel de E. ^ On a alors FÇF = { o ^ La somme FÅF est donc directe. r Existence de bases orthonormales en dimension finie HYPOTHESES ) est un R‐espace vectoriel euclidien. [...]
[...] La relation : , v ) Î E 2 : u . v s'appelle l'inégalité de Cauchy‐Schwarz. r r r r r r Vecteurs orthogonauxVecteurs unitaires HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. r r r r *On dit que deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux si l'on a : = 0. *On dit qu'un vecteur u de E est unitaire si l'on a : u = r r Relation de Pythagore HYPOTHESES ) est un espace préhilbertien réel. [...]
