Mathématiques - Ensembles, applications, variables, matrice, etc.

Thèmes abordés

Cours de mathématiques, ensembles, applications, variables, matrice, opérations élémentaires, collection d'objets, composition

Résumé du document

On appelle ensemble une collection d'objets. Ces objets sont appelés les éléments de l'ensemble.
- Soit en compréhension : on donne une propriété qui caractérise les éléments de l'ensemble,
- Soit en extension : on donne la liste de tous les éléments de l'ensemble.

Un ensemble E est dit fini lorsque le nombre d'éléments qui le composent est un entier naturel.

Dans ce cas, le nombre d'éléments s'appelle le cardinal de l'ensemble et on le note "card (E)".

Soit A et B, deux ensembles. On dira que A est inclus dans B ou bien que A est un sous-ensemble de B si tout élément de A appartient à B. On note A C B.
Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E, et se note P(E).

Extraits

[...] Exemple Les intervalles ouverts de sont ouverts. (des parties ouvertes). Définition On appelle partie fermée de toute partie de dont le complémentaire est ouvert. Exemple ✓ Dans , tout intervalle fermé est fermé. ✓ Toute partie réduite à un point ou bien à un nombre fini de points est fermée. Attention ➢ Il existe des parties de qui ne sont ni ouvertes, ni fermées : les intervalles semi-ouverts de . ➢ Il peut exister des parties de qui sont à la fois ouvertes et fermées : l'ensemble vide . [...]

[...] Exemple Posons , quand tend vers tend vers 0. de est le de . Exemple Posons , lorsque tend vers , tend vers 0. On déduit que la droite d'équation est asymptote au graphe de au voisinage de, car . Exercice 9 TD 2 est paire Point critique Point critique Point critique Comme ne peut pas avoir de minimum global. Comme ne peut pas avoir de maximum global. [...]

[...] Proposition Les coordonnées de l'unique solution d'un système de Cramer dont l'équation matricielle est , sont : Où désignent les colonnes de la matrice A. Exemple Résolution dans le cas général Méthode de Gauss But : Écrire le système sous une forme échelonnée : Exemple Vérification : Exemple VI. Diagonalisation de matrices A. Valeurs propres d'une matrice Définition Soit A une matrice carrée d'ordre . • On appelle valeur propre de A tout réel pour lequel il existe une matrice colonne non nulle X telle que : X est le vecteur propre de A associé à la valeur propre . C'est une matrice colonne. [...]

[...] Application Calculer . Exercice On considère la matrice suivante : . Calculer les valeurs propres de A. Réponse : Polynôme caractéristique : Spectre de A : . Multiplicité des valeurs propres : . En déduire que A est diagonalisable. Réponse : A est diagonalisable, car c'est une matrice d'ordre 2 qui possède 2 valeurs propres distinctes. Donc il existe 2 matrices : H une matrice d'ordre 2 qui est inversible et D une matrice d'ordre 2 qui est diagonale, et telle que : En notant par les valeurs propres de trouver une matrice H telle que : Réponse : : Le vecteur propre associé à la valeur propre vérifie : Écrivons . [...]

[...] Mathématiques - Ensembles, applications, variables, matrice, etc. I. Ensembles, applications A. Les ensembles Généralités Définition On appelle ensemble une collection d'objets. Ces objets sont appelés les éléments de l'ensemble. Appartenance : Si est un élément de l'ensemble on dit que appartient à E et on note . Si n'appartient pas à on écrit . On peut définir un ensemble de deux façons : • Soit en compréhension : on donne une propriété qui caractérise les éléments de l'ensemble, • Soit en extension : on donne la liste de tous les éléments de l'ensemble Exemple Les ensembles fondamentaux sont : ✓ L'ensemble des entiers naturels ✓ L'ensemble des entiers relatifs ✓ L'ensemble des nombres rationnels de la forme ✓ L'ensemble des nombres réels Définition ➢ Un ensemble E est dit lorsque le nombre d'éléments qui le composent est un entier naturel. [...]