Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI sur les dérivations

Résumé du document

Cours de Mathématique niveau prépa MPSI (Mathématiques, Physique et Sciences de l'Ingénieur) sur les dérivations. Cours détaillé suivi d'une série d'exercices types corrigés.

Extraits

[...] Pour pouvoir applique le théorème de Rolle à il suffit d'ajuster le paramètre h de façon que c'est à dire f(b)+mg(b). La dérivée de g ne s'annulant en aucun point de il est clair que l'on ne peut avoir sinon g satisferait aux hypothèses du même théorème de Rolle sur et verrait sa dérivée s'annuler au moins une fois à l'intérieur de l'intervalle en question. Il existe donc bien une valeur de m convenable, soit : Pour cette valeur de m on est donc sûr d'après Rolle de l'existence d'au moins un réel c de l'intervalle tel que h'(c)=0, c'est à dire tel que f'(c)+mg'(c)=0. [...]

[...] On peut alors appliquer le théorème de Rolle à g sur chacun des deux intervalles et b]. Il existe donc un élément c1 de tel que g'(c1)=0 et également un réel c2 au moins de tel que g'(c2)=0. La fonction g' est quant à elle de classe C1 sur donc également de classe C1 sur le sous intervalle c2]. Comme g'(c1)=g'(c2), on peut appliquer une nouvelle fois le théorème de Rolle à cette fonction dérivée sur c2]. On en conclût l'existence d'un réel c strictement compris entre c1 et c donc aussi élément de pour lequel g''(c)=0, c'est à dire tel que f''(c)-2m=0. [...]

[...] On peut alors appliquer le théorème de Rolle à g sur puisque de plus cette fonction prend des valeurs identiques aux bornes de cet intervalle. Il existe donc au moins un réel d de tel que g'(d)=0. En posant on en déduit alors f'(c)=0 avec Si la fonction continue sur changeait de signe sur cet intervalle, on en déduirait d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'annulation de f en un point au moins de l'intervalle b]. Vu l'hypothèse de l'exercice, f garde donc un signe constant sur I. [...]

[...] (' et f' sont alors de classe Cn sur leurs ensembles de définition respectifs I et J. La composée f' ( est donc de classe Cn sur ceci d'après l'hypothèse de récurrence à l'ordre n. Il s'ensuit que g'= ((f' ( ) est de classe Cn sur cette fois d'après le théorème concernant les produits. La fonction g est donc bien de classe Cn+1 sur ce qu'il fallait démontrer. Par contre, tout comme pour l'inverse, on n'obtient pas en général de formule pratique simple pour expliciter la dérivée d'ordre n d'une composée. [...]

[...] On dira que f est de classe sur l'ensemble I si et seulement si f est de classe Cn quel que soit l'entier n. Remarque : La dérivabilité entraînant la continuité, il suffit pour montrer que f est de classe Cn sur de vérifier que f est dérivable au moins jusqu'à l'ordre n sur I et que la dérivée f est bien continue sur I. De même f sera de classe sur I si et seulement si f est dérivable à un ordre quelconque sur I. TECHNIQUES DE DERIVATION. Règles Opératoires. Théorème. [...]