La dérivation et la continuité

Résumé du document

Ce document regroupe l'ensemble du cours de mathématiques sur la continuité et dérivabilité de Terminale S.

Extraits

[...] - Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. Dérivée d'une fonction composée Théorème (le principe de la démonstration est à savoir mais nécessite des connaissances du II. (cf annexe)) Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J et u une fonction dérivable sur un intervalle I tel que Alors la fonction f=vou est dérivable sur I et On a donc f Conséquences : o Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction f=cosou est dérivable sur I et f u′sinou o Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction f=sinou est dérivable sur I et f o Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I alors u est dérivable sur I et f 2 u o Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors u n est dérivable sur I et f o Si u est dérivable sur un intervalle I alors 1 - est dérivable sur / ý0} et f n+1 un u Notation différentielle Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f sa dérivée. [...]

[...] M A 1 h x a+h a Fonction dérivable en un réel a. Nombre dérivé Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit On dit que f est dérivable en a si le taux de variation de f entre a et a+h admet une limite finie lorsque h tend vers 0. On pose alors f lim τh ( lim et est appelé nombre derivé de f en a. h Remarque : en posant h alors f est dérivable en a si admet une limite finie quand x tend vers a et on a alors f = lim a a Interprétation graphique. [...]

[...] y M Approximation affine locale Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit Si f est dérivable en a alors on peut écrire que pour h voisin de P hf hε( avec lim ε( A On peut donc dire que lorsque h tend vers óf( a)+hf . En effectuant cette approximation, l'erreur commise est a + dont la valeur absolue est la distance MP a a+h. Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur une partie I de Ë (càd un intervalle ou une réunion d'intervalles de Ë). On dit que la fonction f est dérivable sur I si f est dérivable en tout réel a de I. La fonction f définie sur I par est appelée la fonction dérivée de f. [...]

[...] Dérivation et Continuité I. Dérivabilité y Taux de variation Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle soit a un réel appartenant à I et soit h un réel non nul tel que h appartienne à I. On appelle taux de variation de f entre a et h le nombre τa ( . h Interprétation graphique : On considère la courbe représentative Cf d'une fonction f dans un repère. Soient A et M les points de Cf d'abscisses respectives a et h. [...]

[...] Pour tout et pour tout h tel que on a hf x)+hε( avec lim ε( En posant et s'écrit où ε tend vers 0 avec Lorsque devient infinitésimal, on exprime symboliquement l'égalité par dy=f dx ou encore f dy . dx Dérivation et sens de variation Théorèmes (vus en 1ère Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I o f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de f x)Ã 0. o f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de f Â0. o f est constante sur un I si et seulement si pour tout x de f x)=0. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. [...]