Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI sur les limites

Résumé du document

En langage approximatif , un problème dit de limite apparaît pour une fonction f lorsque le comportement des images f(x) nous interpelle pour des valeurs de la variable x de plus en plus proche d'un réel donné a (étude au voisinage d'un point ), ou lorsqu'on s'intéresse à des valeurs extrêmes de la variable (étude au voisinage de l'infini) (...)

Extraits

[...] Ce résultat est appelé le principe de localité de l'étude d'une limite. On peut l'énoncer ainsi : Dans toute étude de limite d'une fonction f en un point il est toujours permis de restreindre l'ensemble de définition I de f à sa trace I(U sur un voisinage fondamental U de a. Nous noterons également le résultat suivant d'emploi fréquent, surtout pour l'étude des suites numériques et que nous appellerons principe de recouvrement : Si L'ensemble de définition I de f est égal à la réunion J1(J2 et que chacune des restrictions g1 et g2 de f aux sous ensembles respectifs J1 et J2 admet pour limite l au point alors f admet également pour limite l au point a. [...]

[...] Ainsi = En posant on obtient : et . Ainsi = Or tend vers 0 lorsque h tend vers 0. On obtient donc d'après les règles sur les opérations usuelles : = - 4. L'expression donnée se simplifie facilement avec les formules de trigonométrie élémentaire : Elle admet donc pour limite en 0. La limite de l'expression précédente au point 3 est donc égale à avec Comme , il vient donc : 5. Or On sait que et que . [...]

[...] En passant à l'inverse puis en composant avec la fonction x ( , on obtient la formule : . Comme la fonction a ( relie bijectivement à lui même, on peut conclure que pour tout a strictement positif : . Résultats liés à la relation d'ordre sur R. Théorème d'encadrement. Soient trois fonctions à valeurs réelles définies sur le sous ensemble I de R auquel adhère x 0. Si au voisinage de x0 on a et si on peut alors en déduire La preuve est simple. [...]

[...] Ce résultat de démonstration particulièrement simple peut servir de base pour établir par l'absurde une preuve de non existence de limite en un point. Supposons en effet que l'on puisse trouver pour une même fonction f deux restrictions g1 et g2 à des sous ensembles respectifs J1 et J2 de I telles que lima g1 (lima g2. Une telle fonction ne peut donc avoir de limite l au point car d'après le théorème ci-dessus et le principe d'unicité de la limite on aurait dans ce cas : lima g1 =l=lima g2. [...]

[...] _ Comme pour la négligeabilité, on obtient des définitions équivalentes simplifiées dans le cas où f ne s'annule pas au voisinage de x0 : g ( , ainsi que dans le cas où la restriction de f à ne s'annule pas au V(x0) et où f et g s'annulent simultanément en x0. g ( Les études locales à l'origine effectuées sur les fonctions usuelles se traduisent en termes d'équivalents par les relations : Au Règles usuelles d'emploi. On vérifie très facilement les règles suivantes en utilisant les principaux résultats sur les limites ou les propriétés de la négligeabilité étudiées précédemment. _ Réflexivité. Toute fonction équivaut à elle même en tout point. f . [...]