Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI sur la continuité

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau prépa MPSI (Mathématiques, Physique et Sciences de l'Ingénieur) sur la continuité. Cours détaillé suivi d'une série d'exercices types corrigés.

Extraits

[...] Cette écriture équivaut à L'entier n cherché doit donc vérifier l'encadrement : Ceci caractérise n comme le plus grand entier inférieur ou égal à c'est à dire à la partie entière de ce quotient que nous noterons Du fait que x est supposé rationnel non nul, ne pourra être entier et l'encadrement de ce nombre par les entiers ) et n+1 sera bien strict. Il s'ensuit que - n est bien élément de La décomposition de x est donc toujours possible et unique avec ) et z . Ceci peut se résumer par la formule : ) . [...]

[...] On a donc une suite convergent vers x0 dont la suite des images n ( f(an)=an- converge vers x0 - . Puisque f sera discontinue en tout irrationnel distinct de . Par contre en la continuité est assurée par la majoration , valable pour tout réel x. f est donc seulement continue au point f est bien continue sur en tant que produit d'une fonction affine par le carré de la composée de la fonction rationnelle x ( avec le sinus. On ne peut prolonger par continuité f en 0 car la fonction n'admet pas de limite en ce point. [...]

[...] Ici aucune hypothèse sur le sens de variation de f. Le résultat a déjà été établi dans le cas où I est un intervalle fermé borné. Examinons une configuration du type b[. Il est facile d'écrire un tel intervalle comme réunion strictement croissante d'une suite d'intervalles emboîtés In=[an, bn]. Posons pour tout entier n : dn]. On peut alors écrire : = En appelant c la limite de la suite décroissante n ( cn et d celle de la suite croissante n ( dn (Limites éventuellement infinies), on peut vérifier facilement que est un intervalle dont les bornes sont c et d. [...]

[...] Solutions des exercices sur la continuité Pour x : Ainsi f admet pour limite à droite en 0 et - comme limite à gauche. f n'est pas continue en elle n'est continue qu'à droite en ce point. En tout autre point x0 on peut restreindre l'étude à un voisinage ne contenant pas l'origine et sur lequel f sera définie par x ( donc continue d'après la continuité des fonctions usuelles et les règles opératoires. . On en déduit d'après le théorème d'encadrement que La fonction f est bien continue au point En tout autre x0 on peut comme précédemment se restreindre à un voisinage où f sera définie par la formule x ( ) . [...]

[...] Pour un réel ( quelconque, examinons les rationnels de l'intervalle x0 Il en existe toujours, par exemple les approximations décimales de x0 à ( près par excès. Considérons l'ensemble des représentants irréductibles de ces fractions d'entiers et notons q0 la plus petite valeur possible pour les dénominateurs. Pour tout rationnel Le numérateur de la fraction encadrée ci dessus est un entier non nul donc au moins égal à quand au dénominateur, on peut le majorer par d'après le caractère minimal de q0. [...]