Compléments sur l'intégration sur un segment

Résumé du document

Fiche de cours de Mathématiques niveau Licence sur l'intégration sur un segment avec un rappel sur les bases de l'intégration. Il comprend quelques exercices de synthèses.

Extraits

[...] ln t De mˆeme, la fonction g est continue sur et positive. Donc la deuxi`eme formule de la moyenne est applicable sur l'intervalle U = x2 ] u x > 1. Ainsi il existe c = cx d´epend de tel que Posons f = Z x x dt = ln t = = Quand x tend vers Z 2 x 1 dt ln c x t [ln(t 1)]xx ln c ln(x + 1). ln c tend vers 1 et ln(x + tend vers ln d'o` u ln c Z x lim dt = ln 2. [...]

[...] positive ou bien n´egative), alors il existe c tel que Z b Z b dt. f dt = f a a Pour la d´emonstration voir exercice r´esolu 1. Remarque : La deuxi`eme formule de la moyenne est tr`es utile pour calculer des limites de fonctions d´efinies par des int´egrales, comme le montre l'exemple suivant. Z x D´eterminons lim dt. x ln t On a pour tout x > 1 fix´e, Z x2 x 1 dt = ln t x2 Z dt. [...]

[...] Elle est donc constante sur et = ce qui r´epond ` a la question. Z b. Fixons a 0. Pour tout b posons ϕ(b) = a Z b 0 f ab. La fonction ϕ est 0 d´erivable, de d´eriv´ee ϕ0 = f a. La croissance stricte des fonctions f et f permet d'affirmer que ϕ0 > 0 b > f On en d´eduit sans peine que ϕ(b) est minimal lorsque b = f et sa valeur est alors ϕ(f = = 0 d'apr`es le a., ce qui prouve l'in´egalit´e d´emontrer. [...]

[...] a Comme f 0 ne s'annule pas sur il est l´egitime d'´ecrire eif = eif 0 if ce qui conduit if 0 une int´egration par parties : Z " b if e a eif dt = if 0 Z a a b eif f 00 dt. f 0 Comme f 00 reste positif, on peut majorer : Z b Z 00 if f e dt f a b a 1 b f 00 dt = f 0 f a ce qui nous donne Z b if e dt a Deux cas de figure a consid´ ` erer suivant le signe de f 0 (qui est constant). Les deux conduisent Z sont b if la majoration e dt . [...]

[...] Compl´ ements sur l'int´ egration sur un segment Dans tout ce qui suit, f d´esigne une fonction continue sur valeurs dans R Rappels 1.1 Formule d'int´ egration par parties Si f est de la forme u v u u et v sont 2 fonctions de classe C 1 sur alors Z b Z b u0 dx. u(x)v 0 dx = v]ba a a Exemples : Z Z e e ln x dx = ln x]1 ? e 1 x dx = ln x]e1 [x]e1 = e 0 e + 1 = x 1 Z 1 Z 1 Z ? [...]