Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI sur les développements limités

Résumé du document

Un premier résultat dans ce sens a été établi dans la leçon sur la dérivation, lors de l'étude du polynôme de Taylor. Celui-ci permet déjà d'obtenir les développements usuels des fonctions classiques.
Ce résultat n'est pas la panacée ! Nous verrons que l'existence de dérivées successives en un point n'est pas toujours nécessaire pour obtenir les approximations cherchées.
De plus, même si elles sont définies, le calcul de ces dérivées successives n'est pas toujours de pratique facile. Il faudra donc mettre au point des techniques adaptées, ce sera l'objet du paragraphe suivant.
Pour l'instant nous allons éclaircir la situation en posant une définition précise de "développement limité" et en examinant les propriétés élémentaires de cette notion (...)

Extraits

[...] Il faudra donc mettre au point des techniques adaptées, ce sera l'objet du paragraphe suivant. Pour l'instant nous allons éclaircir la situation en posant une définition précise de ‘développement limité' et en examinant les propriétés élémentaires de cette notion. Définition et Premiers résultats. Soit f une fonction définie sur le sous ensemble I de R à valeurs dans x0 un réel adhérent à et n un entier donné. On dit que f admet un développement limité d'ordre n en x0 si et seulement si il existe un polynôme P de degré au plus n tel que, au voisinage de x on ait le développement : Unicité d'un tel développement. [...]

[...] +anxn alors on peut en déduire le développement limité d'ordre n+1 en 0 : Démonstration. Elle repose sur le principe fondamental suivant : si au voisinage de l'origine f'(x) est négligeable devant xn, alors sera négligeable à l'origine devant xn+1. La preuve de ce résultat préliminaire s'obtient simplement en exploitant la définition originelle de négligeabilité. Par hypothèse, au voisinage de 0 : f'(x)=xn avec Pour tout réel ( donné il existe donc un réel ( tel que : et ) ( _ Ainsi, x ( ( ( f'(x) ( (xn On en déduit, d'après le principe de comparaison par intégration, l'encadrement : x ( ( - _ Sur l'intervalle on a ( f'(x) ( Par intégration, il vient alors l'encadrement inversé étant inférieur à x ( Si on fait la synthèse de ces deux cas, elle peut se résumer à : x ( Le quotient de par xn+1 peut donc être rendu aussi petit que l'on veut (inférieur à tout à condition de prendre x suffisamment proche de 0 ( de valeur absolue inférieure à Ceci n'est autre que l'expression de au voisinage de 0. [...]

[...] On obtient facilement : Du développement classique on tire pour au voisinage de 0. Le numérateur de la fraction étudiée se simplifie alors sous la forme , expression équivalente en 0 à ou encore à puisque est équivalent à à l'origine. La fraction étudiée est donc équivalente en 0 au quotient de par x4, ce qui conduit à Ramenons nous à une étude à l'origine grâce au changement de variable On a alors or au voisinage de et On en déduit et par suite : 9. [...]

[...] Etudier les limites suivantes : 9. Etudier les limites suivantes : réel fixé) 10. Soit m un paramètre réel et Déterminer m pour que tende vers 0 lorsque x tend vers puis trouver pour cette valeur de m un équivalent simple de en Justifier l'existence d'une fonction f définie sur à valeurs dans R telle que : ( ln(1+ Développer ensuite f à l'ordre 3 au voisinage de Choisir les réels a et b de façon qu'au voisinage de 0 la différence tan(x)- soit un o(xn) avec n entier le plus grand possible Déterminer les valeurs des paramètres réels a et b de façon qu'au voisinage de 0 la fraction rationnelle approxime au mieux cos(x) (en un sens à bien préciser) 14. [...]

[...] Ainsi, si les parties régulières des D.L n de f et g sont de même valuation on écrira : Mais les développements en 0 des facteurs ( et ( ne sont plus qu'à l'ordre ce qui conduira à un D.L d'ordre n-q pour le quotient étudié. COMPOSITIONS. Pour développer la composée x ( au voisinage de l'origine, il suffit en fait de généraliser le schéma mis en évidence pour l'inverse. On suppose toujours qu'au voisinage de 0 : et on suppose connaître un D.L n en 0 d'une fonction u telle que f u soit définie sur un voisinage de l'origine, et telle que Par composition naturelle il vient alors immédiatement le développement suivant : Au voisinage de 0 : + On voit bien que la recherche d'un D.L de n'était qu'un cas particulier de ce principe de composition. [...]