Le corps des réels IR

Résumé du document

Partie minorée, majorée et bornée :

Définition :

Soit A une partie non vide de IR.
1) A est dite minorée (respectivement majorée) si a possède un minorant (resp majorant) dans IR.
2) A est dite bornée si A est à la fois minorée et majorée dans IR (...)

Extraits

[...] Compatibilité de la relation d'ordre avec les lois + et . : La relation d'ordre sur IR est compatible avec les lois + et . de IR, càd : : x y x+y y+z : x y et z 0 x.z y.z Notations : : = Par définition IR+ = / x = { x / 0 [...]

[...] En effet, si et alors + et Donc, dans ce cas, + x A tel que x 0, α [...]

[...] On en conclut que Q Ce qui montre que Q IR Propriétés de + et . : On sait que IR est muni d'une addition et d'une multiplication tq : x+y = y+x , commutativité de 0 est l'élément neutre de tq : x+y=y+x=0 (=l'associativité de IR muni de + (on note est un groupe commutatif (x.y).z=x.(y.z) . est associatif) : x.y=y.x 1.x=x.1=x est l'élément neutre de . tq : x.y=y.x=1 x.(y+z)=x.y+x.z . est distributif par rapport à Les propriétés ci-dessus est un corps commutatif. [...]

[...] Le corps des réels IR (quelques propriétés) 1. Le corps des réels Le but de ce chapitre n'est pas de construire IR, en revanche on va donner quelques propriétés de IR. Rappels : Ensemble des rationnels : / P Z et q , noté Q. Remarquons que Q est aussi égal à / P Z et q IN* Avant d'aller plus loin on va rappeler quelques notations : Soit A et B deux ensembles : A B contenu dans A B contenu dans B mais A A = B B et B Les quantificateurs : A (quelque soit) a A (il existe) a A (il existe un unique) (équivalence) (implications) Remarque : Q IR (càd Q est contenu strictement dans IR). [...]