La topologie générale en mathématiques

Résumé du document

La topologie est une branche des mathématiques où l'on approfondi la notion de distance, de continuité, de limite, bien que cet aspect géométrique ne soit pas évident au premier abord pour l'étudiant novice. La topologie permet aussi de faire de l'analyse dans des espaces plus abstraits que comme des espaces fonctionnels.

Extraits

[...] Pour toute application l'ensemble Uf = définit une topologie sur F dite induite par l'application f. Si E est un ensemble et un espace topologique, pour toute application f : F l'ensemble U = { U définit sur E une topologie appelée image réciproque par f de la topologie T de F et notée Continuité Homéomorphismes Continuité Définition 4.1 (Applications continues) Soient et deux espaces topologiques Soit une application f : est dite continue en si pour tout voisinage VF(f(x0)) de l'image f(x0) dans il existe un voisinage de x0, VE(x0) tel que f-1(VF(f(x0))=VE(x0) Continuité Exemple 4.1 Soit E un espace discret: montrer que pour tout espace topologique F et toute application f : f est continue. [...]

[...] Montrer que le sous-espace est séparé. Quelle est la topologie de ce sous-espace? Espace topologique séparé Soit un espace séparé. Montrer que pour toute suite finie 1 i n de points distincts de E il existe une suite 1 i n de voisinages de xi deux à deux disjoints ? Montrer que tout espace séparé fini est discret? [...]

[...] Prenons par exemple l'application continue R a = tan Espace compact Définition 5.1 On dira que est un espace topologique compact si il vérifie est séparé de tout recouvrement ouvert de E (c'est-à-dire si E est une réunion quelconque d'ouvert), on peut extraire un recouvrement fini Espace compact Proposition 5.1 On dira que est un espace topologique compact si il vérifie : séparé De tout famille (Fi)i I de fermé vérifiant Fi = On peut extraire une sous famille finie d'intersection vide Espace compact Démonstration Soit une suite de fermé d'intersection vide Alors, on a Espace compact On obtient donc un recouvrement ouvert de E. on peut alors en extraire un recouvrement fini. [...]

[...] est appelé topologique grossier ou simplement espace grossier Espaces topologiques Définition 1.2 (définition d'une topologie par les voisinages On dit que l'ensemble E est un espace topologique si pour tout a élément de il existe un ensemble de parties de E appelées voisinages de a tel que les propriétés suivantes (Vi ) soient vérifiées : Espaces topologiques Tout voisinage de a contient a Toute intersection finie de voisinage de a est un voisinage de a Toute partie de E contenant un voisinage est un voisinage de a Si V est un voisinage de il contient un voisinage de a tel que V soit voisinage de tout les points de V1 Espaces topologiques Théorème 1.1 (Équivalence et Il a équivalence entre la définition d'une topologie par les axiomes et la définition d'une topologie par les axiomes Espaces Topologiques Remarque 1.1 Quand les axiomes sont vérifiés ( c'est-à-dire les ouverts Oi sont donnés) le passage à se fait par la définition suivante (du voisinage) soit un espace topologique, on appelle voisinage de a toute partie de E contenant un ouvert contenant a Espaces Topologiques Remarque 1.1 (Suite) Quand les axiomes sont vérifiés le passage à se fait par la définition suivante (de l'ouvert) Soit a E un espace topologique, on appelle voisinage de a on appelle ouvert Oi de toute partie qui est voisinage de chacun de ses points Espaces topologiques Fermés Fermeture (Adhérence) Définition 1.3 On appelle fermé Fi d'un espace topologique le complémentaire d'un ouvert Espaces topologiques Théorème 1.2 Soit un espace topologique, alors : (F.1.) E et sont des fermés. (F.2.) Toute réunion finie de fermés est un fermé. (F.3.) Toute intersection de fermés est un fermé. [...]

[...] Base de topologie Soit E un ensemble; B une partie de est une base de topologie sur E si et seulement si : est réunion d'éléments de B Base de topologie Soient E un ensemble et A un ensemble de parties de E. Soit B l'ensemble des intersections finies d'éléments de A. Montrer que B est la base d'un espace topologique cette topologie est dite engendrée par l'ensemble de parties A Topologie induite Rappel de notations: désigne un espace topologique est l'ensemble de voisinage d'un élément x de E Oi les ouverts d'espace topologique Topologie induite Définition 2.1 Pour une partie P de on définit la topologie induite par sur en prenant comme ouverts les intersections des ouverts Oi de E avec P. [...]