Démonstrations de mathématiques exigibles au bac S - publié le 21/09/2009

Résumé du document

Restitution organisée des connaissances de Mathématiques niveau Terminale exposant l'intégralité des théorèmes avec leur démonstration.

Extraits

[...] Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire. On sait que f est une fonction continue sur b]. Considérons le réel k compris entre f et f D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel α tel que : f = k Supposons qu'il existe réel β tel que β , α et f = k Si β > α, alors f > f (On sait que f est strictement croissante). et donc : f , k Contradiction. [...]

[...] Les solutions sont les mêmes que pour la résolution dans R. b Si = est alors un carré “parfait” et on a la solution z = 2a Si 0 On a alors : i b = a z + 2a 2a b i b i = a + + + 2a 2a 2a 2a D'où le résultat Écriture complexe des transformations du plan Théorème 20 Écriture complexe des transformations Soit Ω un point du plan complexe d'affixe ω, et θ un nombre réel. [...]

[...] pour tout on sait que un 6 vn . Or, la suite (vn ) est décroissante, donc pour tout vn 6 v On en déduit que pour tout un 6 v0 Conclusion : la suite (un ) est croissante et majorée par v donc convergente. On procède de même pour la suite (vn ) Montrons que les suites (un ) et (vn ) convergent vers la même limite. la suite (un ) converge vers et la suite (vn ) converge vers l. [...]

[...] La fonction g vérifie donc l'équation différentielle f 0 = f et est la solution telle que f = g est donc la fonction exponentielle. Contradiction. La supposition est donc fausse, et l'unicité est démontrée Le logarithme Théorème 11 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b strictement positifs, et pour tout entier relatif on a : ln ab = ln a + ln b ln an = n ln a 1 ln n a = ln a ) n a = ln a ln b b 1 ln = ln b b ln Démonstration : La démonstration repose sur l'utilisation des propriétés de la fonction exponentielle, sa réciproque. [...]

[...] La fonction F définie par : Z x F : x f (t)dt a est l'unique primitive de f qui s'annule en a. Démonstration : On suppose que f est continue et croissante sur I (Le cas général est admis et sa démonstration n'est pas au programme ) Existence : On sait que toute fonction continue sur un intervalle I admet une intégrale sur cet intervalle. Z x Donc, pour tout x l'intégrale f (t)dt existe. a Z Il existe donc une fonction F définie sur I par F : x x f (t)dt. [...]