Calcul de sommes et de produits de réels

Résumé du document

Démonstration

Le membre de gauche de l'égalité consiste, sur chaque ligne, à sommer tous les termes puis à ajouter tous les résultats obtenus. Le membre de droite de l'égalité, sur chaque colonne, à sommer tous les termes puis à ajouter tous les résultats obtenus. Bref, d'une manière ou d'une autre, on a effectué la somme de tous les termes du tableur et donc les deux sommes doubles sont égales (...)

Extraits

[...] On a alors : 𝑛 𝑆𝑛 = 3 ln 𝑘 2 ln 𝑘 1 ln 𝑘 + 1 𝑘=2 𝑛 𝑛 ln 𝑘 ln 𝑘 1 + 𝑘 ln 𝑘 ln 𝑘 + 1 𝑘=2 = 2 ln(𝑛) ln(1) + ln(2) ln(𝑛 + = 2 ln(𝑛) ln(𝑛 + + ln(2) On peut remarquer que cette expression est encore valable pour 𝑛 = Soit 𝑛 un entier naturel. On a alors : 𝑛 𝑘𝑒 −2𝑘 = 𝑘=1 ( 𝑛 𝑘=1 𝑘 𝑛 𝑘 𝑘=1 𝑒 = 𝑛! exp 𝑛 𝑘=1 𝑘 = 𝑛! [...]

[...] obtenu par une récurrence immédiate. 𝑛 𝑘=1 𝑘 exp = exp 𝑛 𝑛+ Un calcul direct ne permettant pas d'aboutir, il convient de changer l'ordre des sommes : 𝑛 𝑗 𝑛 𝑖=𝑗 𝑗 = 𝑖 𝑛 𝑖 𝑖=1 = 𝑗 = 𝑗 = 𝑖 𝑛 𝑖= 𝑖 𝑖+1 𝑖 2 𝑛 1 = 2 𝑖= (𝑖 + = 2 𝑛 𝑖= 𝑖= 2 𝑛+1 𝑖 𝑖=1 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 𝑛+3 = Utilisons la définition : 𝑛 𝑛 𝑛 ℎ𝑘 = 1≤ℎ≤𝑘≤𝑛 ℎ𝑘 = ℎ=1 𝑘=ℎ+1 𝑛 = ℎ ℎ=1 𝑛 𝑛 ℎ ℎ=1 𝑘 = 𝑘=ℎ+1 𝑛 ℎ ℎ 𝑘− ℎ=1 𝑛(𝑛 ℎ(ℎ 𝑛(𝑛 + = 𝑘=1 𝑛 𝑘 𝑘=1 𝑛−1 ℎ= ℎ3 + ℎ² ℎ=1 𝑛(𝑛 + 𝑛 1 𝑛 1 𝑛 1 𝑛 1 𝑛 2𝑛 1 = + 𝑛(𝑛 𝑛(𝑛 2𝑛 1 𝑛 1 𝑛 𝑛 + 1 3𝑛 + 2 = 𝑛 𝑛+1 = 2𝑝 𝑖=𝑝 2𝑝 𝑖=1 𝑖² 𝑖² = 𝑝−1 𝑖=1 𝑖² 𝑛 ℎ=𝑘 𝑎 =𝑎 𝑛−𝑘+1 𝑛 𝑖=0 2𝑛 𝑗 = 𝑖+𝑗 =𝑘 𝑖𝑗 = = = 𝑛 𝑖=0 2𝑛 𝑘 𝑖=1 𝑖 𝑘−𝑖 =𝑘 2𝑝 2𝑝+1 4𝑝+ 𝑝−1 𝑝 2𝑝− = 𝑝 𝑝+1 14𝑝+ = 2𝑛 𝑛 + 1 𝑘−1 𝑖=1 𝑖 𝑘−1 𝑖=1 𝑖² = 𝑘 2 𝑘− 𝑘 𝑘−1 2𝑘− = 𝑘−1 𝑘 𝑘+ La fonction 𝑣𝑛 est un polynôme du second degré. [...]

[...] 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑗 =𝑖 𝑎𝑖,𝑗 1≤𝑖≤𝑗 ≤𝑛 𝑎𝑖,𝑗 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑗 =𝑖+1 𝑎𝑖,𝑗 1≤𝑖≤𝑗 ≤𝑛 𝑎𝑖,𝑗 𝑛 𝑗 𝑗 𝑖=1 = 𝑎𝑖,𝑗 𝑛+1 𝑗 𝑗 𝑖=1 = 𝑎𝑖,𝑗 Démonstration Ici encore, on somme ligne par ligne, ou bien colonne par colonne. Remarques Dans chacun des trois cas présentés ici, la valeur ou bien l'ensemble des valeurs possibles de 𝑗 dépend de la valeur de 𝑖 en cours (et réciproquement). On di alors que ces variables muettes sont liées. Les règles de calculs sur les sommes simples s'appliquent ici, comme par somme. Produits Produits simples Notations Soit 𝑎𝑘 𝑘∈ℕ une suite réelle, 𝑚 et 𝑛 deux entiers tels que 0 𝑚 𝑛. Alors : - Le produit 𝑎0 𝑎1 . [...]

[...] 𝑎𝑛 se note 𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 . Le produit 𝑎𝑚 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 se note 𝑛𝑘=𝑚 𝑎𝑘 . Par convention le produit d'aucun facteur vaut 1. Définition Pour tout entier 𝑛 on appelle factorielle de 𝑛 l'entier : 𝑛 𝑛! = 𝑘 𝑘=1 Et on convient donc = 1. Page 3 Mathématiques EC1 Propriétés Soit 𝜆 un réel, 𝑎𝑘 Alors : 𝑘∈ℕ et 𝑏𝑘 𝑘∈ℕ deux suites réelles, 𝑚 et 𝑛 deux entiers tels que 0 𝑚 𝑛. [...]

[...] Produits doubles Toutes les notations des sommes doubles s'adaptent aux produits doubles. 𝑖×𝑗 1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗 ≤𝑝 Exercices 1. Calculer 𝑛𝑘=0 2𝑘 + quelle somme a-t-on calculer lorsque 𝑛 = 500 ? 2. Calculer 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑎 + 1 𝑎 + 2 + + 𝑎 + 𝑝 𝑎 + 𝑝 + 1 où 𝑎 et 𝑝 sont deux entiers naturels Déterminer deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que : ∀𝑛 𝑎 𝑏 = + 𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑛+1 en déduire une expression simple de la somme 1 𝑛 𝑘=1 𝑘 𝑘+ Calculer les sommes et produits qui suivent : 𝑛 𝑛 ln 𝑘 𝑘=1 𝑛 𝑛 𝑗 𝑖=𝑗 𝑒𝑘 𝑘=1 𝑗 𝑖 ℎ𝑘 1≤ℎ≤𝑘≤𝑛 Page 4 Mathématiques EC Calculer : 2𝑝 𝑛 𝑖² 𝑛 2𝑛 𝑖=0 𝑗 𝑎 𝑖=𝑝 1 𝑏=𝑘 𝑖𝑗 𝑖+𝑗 =𝑘 6. [...]