La base des ensembles

Résumé du document

Depuis la fin du XIXe siècle, les ensembles sont devenus la notion fondamentale des mathématiques. On définit souvent un ensemble comme une collection d'objets caractérisés par une propriété commune.
Il y a par exemple, l'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des nombres entiers compris entre 7 et 24, l'ensemble des droites du plan?
Cette façon de s'exprimer, trop vague, peut s'avérer dangereuse et peut laisser croire que n'importe quoi est un ensemble, ce qui conduit à des contradictions (...)

Extraits

[...] Par Exemple : L'ensemble vide Ø et l'ensemble des lettres de l'alphabet sont des ensembles finis et alors que celui des nombres entiers pairs positifs } est infini. Si A est un ensemble fini, le nombre de ses éléments est appelé Cardinal de A card(A) = n Si A et B sont des ensembles finis disjoints, ils n'ont aucun élément en commun, alors A υ B est fini et : card(A υ = card(A) + card(B) Si A et B sont des ensembles finis, alors A υ B et A B sont finis et : Card(A υ = card(A) + card(B) card(A Si A et B et C sont des ensembles finis, il en est de même pour A υ B υ C et Card(A υ B υ = card(A) + card(B) + card(C) - card(A card(A card(B + card(A B Les ensembles finis, cardinal d'un ensemble, principe de dénombrement (suite) Exemple tp1 : Supposons que 100 des 120 étudiants en mathématiques d'un collège apprennent au moins une langue étrangère parmi l'anglais, l'italien, le russe. [...]

[...] On définit souvent un ensemble comme une collection d'objets caractérisés par une propriété commune. Il y a par exemple, l'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des nombres entiers compris entre 7 et 24, l'ensemble des droites du plan Cette façon de s'exprimer, trop vague, peut s'avérer dangereuse et peut laisser croire que n'importe quoi est un ensemble, ce qui conduit à des contradictions. A l'aube du XXe siècle, il devint nécessaire de préciser toutes les notions, même les plus élémentaires, aussi, on a fini par admettre qu'une propriété commune quelconque ne permet pas toujours de définir un ensemble. [...]

[...] Il existe deux moyens pour définir un ensemble particulier : Le premier, s'il est possible, est l'écriture de tous les éléments Le deuxième, consiste en l'écriture de la propriété qui caractérise les éléments Exemple : N : : x est entier, x L'ensemble qui ne compte aucun élément est l'ensemble vide. On le note Ø Autres points : Deux ensembles A et B sont égaux Si et seulement Si ils sont constitués des mêmes éléments. On écrit alors A=B Si chaque élément de l'ensemble A est aussi élément d'un ensemble on dit que A est inclus dans B (ou que A est contenu dans B). [...]

[...] Déterminer alors le nombre de personnes qui ne lisent qu'un magasine. Recherche : Card(Pm Ec Ex) = Card(Pm υ Ex υ Ec) -Card(Pm)-Card(Ex)-Card(Ec) +Card(Pm Ec)+Card(Pm Ex)+Card(Ex∩ 3 (52-25-26-26+9+11+8 = 1 seul magasine = 8+12+10 = 30 personnes Exercice 1.9 : Dans une classe de première, sont étudiées les langues suivantes : l'anglais, l'allemand et l'espagnol. [...]

[...] Les ensembles les plus importants, ceux qui servent de références, portent des noms qui leur sont propres et sont représenté par des lettres : B : l'ensemble des bits N : l'ensemble des entiers naturels } Z : l'ensemble des relatifs } R : l'ensemble des nombres réels. Les objets qui constituent un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble. Pour indiquer qu'un objet x est un élément d'un ensemble on écrit x Є qui se lit appartient à ; la négation s'écrit x A. [...]