Algèbre : la méthode de pivot de Gauss

Résumé du document

Cours d'Algèbre niveau Licence Mathématiques-Informatique sur la méthode de pivot de Gauss.

Extraits

[...] ' 2p x p=b ' a ' n1 x 2 . ' np x p=b ' n Nounours On recommence la même opération avec le système et ainsi de suite. L'algorithme s'arrète car le nombre de lignes est fini. On s'arrète quand tous les coefficients situés à gauche ou sous les pivots sont nuls. [...]

[...] E , , Multiplier la ligne i par un scalaire revient à multiplier la matrice à gauche, par la matrice de dilatation , a d g b e h c 4a 4b 4c f = d e f i g h i Chapitre 4 : Méthode du pivot de Gauss Remarque : Nounours 1 , 1. Ajouter à la ligne i de A la ligne de j multipliée par revient à multiplier la matrice à gauche, par la matrice de transverction. [...]

[...] np x p=b n L1 L2 Ln Quitte à échanger deux lignes on peut supposer que a a i1 L Pour chaque ligne Li on la remplace par Li a Exemple : Pour L Le nouveau coefficient de x 1 vaut : a a 21 21 a 11=0 a 11 Dans le nouveau système tous les coefficients de x 1 sont nuls sauf a 11 qui est appelé un pivot. Chapitre 4 : Méthode du pivot de Gauss a 11 x 12 x . 1p x p=b 1 a ' 22 x 2 . [...]

[...] Le nombre de pivots (termes diagonaux non nuls) s'appele le rang du système, c'est la dimension de a 11 a 1p Vect { } a n1 a np Si on note r =rang alors r , * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Les vecteurs colonnes u r sont libres et les vecteurs u u u r Exemple : z=1 5x 6y2z=2 z=3 L 2 L2 L 1 L3 L Chapitre 4 : Méthode du pivot de Gauss Nounours = z = On recommence avec z = L 2 L2 18 L = D'où On reporte dans ' ' = On reporte dans et on trouve Le système admet comme résolution : } { Matriciellement : x A x 2 x3 T 2,1 T 3,1 x A x 2 3,1 T x3 T 2,1 Chapitre 4 : Méthode du pivot de Gauss et Nounours T 3,1 T 3,2 x 3,1 2,1 A x 2 3,2 3,1 2,1 x3 Remarque : a propriétés des transvection Exemple : a a n a = 0 a a n T 3,1 2,1 III)Inversion d'une matrice : On utilise la tranformation élémentaires pour transformer la matrice M en I n alors I n est tranformée en M On applique une méthode de pivot de Gauss totale. In M op. élémentaires In M E n . E 1 M n donc Où M n . [...]

[...] Exemple : a b d e g h c f i a = d g c f i b e h Chapitre 4 : Méthode du pivot de Gauss Nounours Multiplier à droite par une matrice de dilatation c'est multiplier une colonne par un scalaire. a b d e g h Exemple : c f i 4a b = 4d e 4g h c f i Multiplier à gauche par une matrice de transvection c'est rajouter à une colonne le produit d'une autre colonne par un scalaire. [...]