Algèbre : les matrices et applications linéaires

Résumé du document

Cours d'Algèbre niveau Licence Mathématiques-Informatique présentant des définitions, des démonstrations, des schémas, etc. impliquant le calcul matriciel avec les techniques de calcul.

Extraits

[...] On vas calculer BA pour : 2 et Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires Nounours C 11 C C 21 C C 31 C 32 C C C C C C Exercice : 2 AB 2 BA AB 1 1 Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires Nounours 1 1 BA Impossible car Propriétés : Le produit BA n'est défini que si le nombre de colonne de B est égal au nombre de lignes de A En général AB Si M p K et n K alors M p , q K Dans ce cas le produit BA n'existe que si p Le produit matriciel est associatif et distributif par rapport à l'addition BC ABC car g f g f g f h AC car f f car f f g f h Si A=0 alors Exemple : AB=0 et BA=0 mais l'inverse est faux BA= Donc BA=0 IV)Transposition d'une matrice : Soit ij p , n K Définition : T ij Exemple : La transposée de A notée Si T A , est la matrice de M n , p K donnée par Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires T Propriétés : Nounours T T T B , T T A Conclusion : La transposition est une application linéaire de T Propriété : M p K dans M n K T A T B Démonstration : On note kj et ik et ij p Où C ij bik a kj k On note T Où sr p sr b sk a kr k=1 On note T Où =atl On note T Où btm=bmt On note T A T d rs p avec d rs t=1 p d rs a tr bst t=1 Matrices carrées : Lorsque E=F et que F E , F on sait que F est un endomorphisme de E. Si n=Dim E Mat f , B , f , n E on dit que c'est une matrice carrée d'ordre n. [...]

[...] bki . . a1j a 2j . a ij . [...]

[...] Egalité : Soient f : E F et g : E F deux applications linéaires. On note M ij f , B , et on note N f , B f signifie f j e j c'est à dire p p i=1 i=1 aij f bij f i en identifiant, on obtient : et a ij =bij M ij ij Conclusion : Cas particulier : f application nulle f x f M aij Si On note M p K l'ensemble des matrices à p lignes et n colonnes et à coefficients dans K Théorème : L'application : L k E , F p K f Mat f , B , est une bijection, A une application linéaire on associe sa matrice dans des bases B et C données. [...]

[...] I avec n lignes et n colonnes 9 Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires Définition : Si A A A n K on peut définir Nounours A p avec p en posant A0 n et A0 2 = A A2 Exemple : Que vaut A p , A p=0 A , n K Formule remarquables : A2BA AB B 2 2 Le produit matriciel n'est pas commutatif Formule du binôme : Si A , n telles que AB = BA n p p p Alors C n A B n p=0 Définition : M n , ij A est diagonale si a ij j a a . a et Si a ij On note I n A est triangulaire supérieure si a ij j a11 a a 1n 0 a a 2n a nn =diag a ann . a nn A est triangulaire inférieur si a ij j 10 Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires Nounours Exercice : Ecrire A Montrer que T A est triangulaire supérieure si B est triangulaire inférieur alors AB l'est aussi. [...]

[...] Démonstration : f de E dans F est injective : 3 Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires Nounours On suppose que f g M = N f = g est surjective : A une matrice M ij on associe la matrice Mat f , B qui représente l'application linéaire f dans les bases B et C données. Exemple : cela signifie f : ℝ 2 2 dans la base cononique de ℝ Alors f 2 et f 2 e e 2 e 2 base Addition : Théorème : Si f E , F et g L E , F alors l'application f définie par f f est une application linéaire de E dans F et Mat f , B , C f , B , C g , B , Mat f , B , C aij et Exemple : p p p i=1 i=1 i=1 f j f j j aij f b ij f ij f i d'où Démonstration : 0 Produit par un scalaire : Soit f E , F , soit , alors f E , F et Mat f , B , C Mat f , B , C Exercice : Montrer que Mat f , B , C f , B , C Exemple : si ; 2A= Conclusion : Les applications : M p K p , n K M p , n K A , et p , n K M p , n K , A munissent M p K d'une structure de k-espace vectoriel Chapitre 3 : Les matrices et applications linéaires Nounours On note : E ij = p Alors toute les matrice p s'écrit de manière unique n a ij E ij i=1 j=1 Exemple : E 11= E 12= E 22= E 21= A=1 E E E E 22 M p K est un espace vectoriel sur de dimension np, dont canonique) Exemple : Corollaire : E ij est une base (base M 2,2 est un isomorphisme d'espaces vectoriels entre donc Dim L E , F L E , F et M p K , III)Produit matriciel : Soient F et G espaces vectoriels sur un corps de dimension respective n,p et q et de bases n respectives f f p g g q Théorème : Si f E , F et g L F alors De plus si Mat f , B ij Mat g , C , ki g f E , . [...]