Cours de mathématiques : les fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles

Christophe C.

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Cours de mathématiques : les fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles

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Cours de mathématiques sur les fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles.

Sommaire

A. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
B. Opérations sur les f.n.v.r. (fonctions numériques de variable réelle)
C. Composée de deux fonctions
D. Définition
E. Relation d'ordre sur les f.n.v.r.
F. Fonctions majorées, minorées, bornées
G. Extremum, extremum local
H. Borne supérieure, borne inférieure d'une fonction
I. Fonctions monotones, strictement monotones
J. Composition de fonctions monotones
K. Fonctions paires, impaires
L. Sous-espace vectoriel des fonctions paires (resp impaires)
M. Fonctions T-périodiques

II) Étude locale d'une fonction

A. Limites finies, continuité
B. Extension de la notion de limite
C. Propriété
D. Notion de restriction d'une application
E. Limite à gauche, limite à droite
F. Continuité à gauche, continuité à droite
G. Notion de voisinage
H. Proposition
I. Propriété
J. Espace vectoriel des fonctions de limite 0
K. Propriété
L. Opérations algébriques sur les limites finies
M. Opérations algébriques sur les limites finies et infinies
N. Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre
O. Théorèmes d'encadrement
P. Limite d'une application composée
Q. Image d'une suite convergente
R. Existence d'une limite d'une fonction monotone

III) Relations de comparaison

A. Fonction dominée par une autre au voisinage de a
B. Fonction négligeable devant une autre au voisinage de a
C. Fonctions équivalentes au voisinage de a
D. Équivalent d'un produit, d'un quotient
E. Propriétés
F. Comparaison des fonctions usuelles

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Extraits

[...] Lorsqu'un tel nombre existe, on dit que la fonction admet une limite finie au point . Lorsque ( existe) et que admet une limite finie au point , cette limite vaut , on dit alors que est continue au point , soit Lorsque ( n'existe pas), si admet une limite finie au point que l'on note , alors on peut définir , par construction est continue en ; se nomme le prolongement par continuité de en . Pratiquement, on dira plus simplement que est prolongée par continuité en en posant (abus). [...]

[...] par le réel sont des fonctions paires (resp impaire). Ce qui justifie le vocabulaire espace vectoriel M : Fonctions -périodiques Soient une f.n.v.r. définie sur et un réel strictement positif, on dit que est -périodique lorsque . Conséquence : le plan étant rapporté à un repère orthonormal si l'on désigne par la courbe représentative de dans ce repère, lorsque est -périodique, est invariante par la translation de vecteur pour tout . Exemples : sont -périodiques sur , est -périodique sur , est 1-périodique, où est 1-périodique, pour le justifier, on pourra montrer que . [...]

[...] Attention : l'équivalence des fonctions n'est pas compatible avec l'addition ! on peut avoir et sans que soit vrai. (par exemple et et , et Dans un calcul de limite, on peut remplacer une fonction par une fonction équivalente dans un produit ou un quotient, mais pas dans une somme ou une différence. E : Propriétés Si où est négligeable devant au voisinage de , alors est équivalente à au voisinage de . Si deux fonctions sont équivalentes au voisinage de , alors elles sont de même signe au voisinage de . [...]

[...] C : Fonctions équivalentes au voisinage de Etant données deux fonctions et à valeurs réelles ne s'annulant pas sur . On dit que la fonction est équivalente à la fonction au voisinage de lorsque le quotient admet pour limite 1 en . Notation : on écrit (lire est équivalente à au voisinage de par abus ou . Exemples : D : Equivalent d'un produit, d'un quotient Etant donnée les fonctions et à valeurs réelles ne s'annulant pas sur . Si et , alors et . [...]

[...] E : Limite à gauche, limite à droite On dit que admet une limite à droite en lorsque la restriction de à possède une limite en . Notations : , ou . On dit que admet une limite à gauche en lorsque la restriction de à possède une limite en . Notations : , ou . Ecriture en langage symbolique : lorsque lorsque Exemple : et . Attention ! l'existence d'une limite à gauche en et d'une limite à droite en , mêmes égales, n'entraîne pas l'existence d'une limite en . Par exemple, en . (le vérifier). [...]

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