Les suites de nombres réels

Résumé du document

Soit (a n) et (b n) deux suites adjacentes de nombres réels.
Alors : (a n) et (b n) convergent vers la même limite.
(...)

Extraits

[...] On dit que la suite n diverge vers lorsque : Définition : Suite divergente vers Soit n une suite de nombres réels. On dit que la suite n diverge vers lorsque : Théorème : L'algèbre des limites des suites convergentes Soit et deux suites de nombres réels et soit un nombre réel. Si et convergent, alors : 1. La suite converge et 2. La suite converge et 3. La suite converge et 4. On suppose, de plus, que est non nulle. [...]

[...] Dans ce cas, Théorème : La convergence des suites adjacentes Soit et deux suites adjacentes de nombres réels. Alors : et convergent vers la même limite. Théorème : Le théorème de l'encadrement Soit , n et trois suites de nombres réels. On suppose que : 1. A partir d'un certain rang et convergent vers la même limite Alors : la suite n converge et Proposition : Le passage à la limite dans des inégalités larges Soit et deux suites de nombres réels. On suppose que : 1. [...]

[...] La suite se note Remarque : Soit une suite de nombres réels : La suite est une suite extraite de la suite lorsqu'il existe : strictement croissante telle que Théorème Si la suite converge vers , alors toute suite extraite de la suite converge vers . Utilisation du théorème Ce théorème permet de prouver qu'une suite diverge. Cadre : Soit une suite de réels S'il existe une suite extraite de qui diverge, alors diverge S'il existe deux suites extraites et de qui convergent vers des limites distinctes, alors la suite diverge. Théorème Soit une suite de nombres réels. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : 1. [...]

[...] La suite converge vers Les suites extraites et convergent vers la même limite. La comparaison des suites But de cette partie : estimer les vitesses de convergence et de divergence d'une suite. Définition : Développement à l'ordre , en Soit un intervalle de contenant , et soit une application. On dit que admet un développement limité à l'ordre , en , lorsqu'il existe un polynôme et une fonction : telle que : Théorème : Les développements limités des fonctions classiques 1. [...]

[...] Notation des suites : Soit : une suite de nombres réels. L'image de l'entier par se note . est appelé le terme générique de la suite . On identifie avec les images de par donc la suite se note . Définition : Proposition vraie à partir d'un certain rang Soit une proposition définie sur . On dit que la proposition est vraie à partir d'un certain rang lorsqu'il existe un entier 0 tel que 0 est vraie au rang . [...]