Synthèse d'exercices de probabilité

Résumé du document

Monsieur X au cours d'une de ces expériences a lancé 1000 fois une pièce de monnaie (ces lancers étant supposés indépendants) il a obtenu 540 fois face. Soient p la probabilité d'obtenir face et q celle d'obtenir pile (...)

Extraits

[...] lim E(b Convergence de b θn vers a. On montre comme en que : lim P ) = 0 et donc que b θn est convergent vers a. n 1X 3. b θn = Xk (moyenne empirique) n k=1 Distorsion de b θn . Les Xk étant distribuées selon la loi uniforme continue sur on en déduit que , a+b , k = n E(Xk ) = 2 D'où, a+b E(b θn ) = 2 On en déduit que b θn n'est pas sans distorsion pour les paramètres a et b.Il est a+b cepenant sans distorsion pour qui n'est autre que la moyenne sa moyenne Convergence de b θn vers un paramètre. [...]

[...] Valeurs de a pour lesquelles P X > [...]

[...] Déterminer la loi marginale de X et de Y 4. Calculer P [...]

[...] Calculons cette dernière. Z Z Z µZ + + xy(x y )dxdy = 1 + xy(x y )dx dy Z ϕ(y)dy = ϕ(y) = Z Z 1 + xy(x2 y 2 ) dx = 2 ϕ(y)dy = 2 On en déduit, k = Z dy = 4 et la densité a pour expression 1 + xy(x2 y 2 si D f = , D = k > 0 si 2. Calcul de E(XY ) 1 E(XY ) = 4 Z µZ xy(1 + xy(x y dy = E(XY ) = Distributions marginales fX et fY de X et Y 1 fX = 4 Z + xy(x2 y 2 = 1 si x fX = 2 0 si x / Z + fY = + xy(x2 y 2 = 4 1 si y fY = 2 0 si y / 14. [...]

[...] Y = X est de loi γ π µ 1 sachant que Γ( ) = Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de fonction cumulative F et G ayant pour fonction de densité f et g respectivement Exercice 21 Soit T = 63 X , Y > 0 Montrer que Y Z ty Z µ f (x)dx dy P [...]