La diagonalisation de matrice

Résumé du document

Pratiquement

Etant donné une matrice carrée, pour savoir si elle est diagonalisable, on calculera d'abord son polynôme caractéristique pour déterminer ses valeurs propres.

Ensuite on essayera d'obtenir les vecteurs propres associés à ses valeurs propres. Il s'agira ensuite de savoir si on peut obtenir une base formée de vecteurs propres (...)

Extraits

[...] Cette propri´et´e est tr`es pratique d'utilisation et il faut la savoir ! Exemple. La matrice M = est diagonalisable Attention. Une matrice peut ˆetre diagonalisable sans que ses valeurs propres soient toutes simples ! (exemple pr´ec´edent) ! Rappel du eor` eme de d'Alembert. Lorsque K = la condition polynˆome caract´eristique de M a toutes ses racines dans K est ´evidemment v´erifi´ee. 4. Trigonalisation. Limite du programme. efinition. Soit T = (tij ) une matrice carr´ee. Elle est dite triangulaire lorsque i > j tij = 0. efinition. [...]

[...] efinition de l'espace Kn . Un ´el´ement de Kn est une suite de n nombres appartenant a K. On parle le plus souvent de vecteur. On peut l'´ecrire (α αn ) et on dit qu'il est ` ´ecrit en ligne. On peut aussi l'´ecrire en colonne. efinition des erations sur les vecteurs. Soit des vecteurs V = (α αn ) et W = (β βn La somme de ces deux vecteurs est le vecteur V + W = (α1 + β αn + βn Soit un vecteur V = (α αn ) et un nombre λ. [...]

[...] emonstration admise. En particulier, toute matrice carr´ee coefficients dans C est trigonalisable sur C. 5. eor` eme de Cayley-Hamilton. Limite du programme. Une autre propri´et´e du polynˆome caract´eristique est le th´eor`eme suivant : eor` eme. Soit M une matrice carr´ee n lignes. On consid`ere son polynˆome caracn n X X i t´eristique que l'on note : P = ai X . Alors la matrice ai M i est nulle ( on sous0 i=0 i=0 entend la notation : M = In On ´ecrit plus bri`evement P ) = 0. [...]

[...] Soit M une matrice carr´ee n lignes. On dit que M est diagonalisable (sur lorsqu'il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P (de mˆeme taille, coefficients dans telles que : M = P DP eor` eme. Soit M une matrice carr´ee n lignes, coefficients dans K. La matrice M est diagonalisable (sur si et seulement si il existe une base de Kn form´ee de vecteurs propres de M . emonstration. Il faut comprendre cette d´emonstration qui n'est pas ´eloign´ee de la pratique. [...]

[...] On dit que les vecteurs V Vk forment une partie g´en´eratrice de Kn lorsque tout vecteur de Kn est une combinaison lin´eaire de V Vk . Lorsque Vk ) est la fois une partie libre et une partie g´en´eratrice, on dit que que Vk ) est une base de Kn . Exemple. Les vecteurs E1 = ( E2 = ( et E3 = ( forment une base de R Exemple. La base canonique de Kn . Proposition. Toute base de Kn poss`ede exactement n vecteurs. emonstration admise. Proposition. Soit n vecteurs V Vn appartenant Kn . [...]