Cours de Mathématiques sur les baricentres

Résumé du document

Cours de Mathématiques (niveau Lycée) consacré aux barycentres de deux points pondérés mais également de trois points pondérés. Toutes les définitions et propriétés à connaître sont présentées.

Extraits

[...] (théorème de la médiane). II) Barycentre de 3 points pondérés : Définition : Soient ; ; et ; trois points pondérés tels que a + b + c 0. Il existe un unique point G appelé barycentre de ; ; et ; tels que a GA + b GB + c GC = 0 Position du barycentre : a GA + b GB + c GC = 0 a GA + b (GA + AB ) + c (GA + AC ) = 0 (Chasles) a GA + b GA b AB + c GA + c AC = 0 + b GA = - b AB c AC GA = / ( a + b AB + / ( a + b AC Les vecteurs AG, AB et AC sont coplanaires. [...]

[...] Théorème de réduction : Pour tout point a MA + b MB + c MC = + b + MG Coordonnées : Dans un repère ; de l'espace, G a pour coordonnées : xG = (a.xA + b.xB + c.xC) / ( a + b + yG = (a.yA + b.yB + c.yC) / ( a + b + zG = (a.zA + b.zB + c.zC) / ( a + b + Isobarycentre : L'isobarycentre de trois points ou plus est le barycentre de ces points affectés du même coefficient. Exemple : L'isobarycentre de trois points B et C. = Le barycentre de ; ; et ; = le centre de gravité du triangle ABC. Barycentre partiel (ou associativité) : Théorème : Le barycentre de trois points ou plus reste inchangé si on remplace certains des points pondérés par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients. [...]

[...] Pour tout point on a : a MA + b MB = + MG Démonstration : Soit M un point. a MA + b MB = a (MG + GA) + b(MG + GB) (Chasles) = a MG + a GA + b MG + b GB (on factorise par MG) = + MG + a GA + b GB Pour G = bar ; ; a GA + b GB Donc a MA + b MB = + MG Remarque : G = bar ; ; G est le milieu de [AB]. [...]

[...] Si G = bar ; ; , a + b + c 0. Et si H = bar ; ; , a + b 0. [...]

[...] Le couple ; où le point A est affecté du coefficient (ou de la masse ou du poids) a est appelé un point pondéré. Barycentre : On appelle barycentre de points pondérés ; et ; tels que a + b l'unique point G tel que a GA + b GB = 0 Propriété : Soit G le barycentre de deux points pondérés ; et ; tels que a + b 0. Alors AG = b / AB Remarques : - Si a = 0 alors G = B - Si b = 0 alors G = A - Si a = b alors G = A = B Exemples : G est le barycentre de ; et ; G A B AG = b / AB ( a + b = 1 + 3 = ( a + b 0 donc G existe). [...]