Les marches aléatoires en environnement aléatoire

Résumé du document

Dans le cadre de la théorie de renouvellement et les marches aléatoires sur R, les questions développées dans ce document ont été celles relatives à la loi forte des grands nombres, au théorème central limite, à la récurrence et la transience de la marche, aux grandes déviations.
Dans un premier temps, nous étudions ces questions lorsque l'environnement est aléatoire par rapport au site de la marche, par la lecture de l'article de O. Zeitouni intitulé « Lectures notes on random walks in random environment ». Puis, nous étudierons quelques unes de ces questions dans le cadre d'un environnement aléatoire par rapport au temps. Cela nous permet de comparer les divers résultats obtenus pour les deux types de milieu existant. Notons, cependant, qu'actuellement les recherches sont plutôt développées dans le premier environnement présenté. La recherche est en plein essor dans ce domaine.

Extraits

[...] Ce milieu est donc une suite aléatoire qu'on suppose stationnaire et ergodique. Lorsque le milieu est fixé, le modèle peut être représenté de la façon suivante : Autrement dit, on considère une particule initiale située à la position 0 à l'instant 0. A l'instant elle va à la position 1 avec probabilité , sinon elle va à la position avec probabilité . De manière générale, si elle est à la position à l'instant , alors à l'instant , elle va en avec probabilité , et en avec probabilité . [...]

[...] C'est en fait la moyenne de la loi quenched sur tous les environnements, c'est-à-dire = . C'est une loi invariante par translation, mais non- markovienne Problématique. Dans ce chapitre, on va étudier les propriétés de transience et de récurrence de la marche. On va aussi présenter les résultats concernant la loi forte des grands nombres, le théorème central limite, les grandes déviations, et tout cela par rapport à la loi annealed ou à la loi quenched . Pour cela, on va souvent avoir recours au théorème ergodique de Birkhoff, qui rappelons-le, s'énonce de la manière suivante. [...]

[...] C'est pourquoi, on est amené à étudier des modèles qui prennent en compte ces défauts. On va ici s'intéresser aux marches aléatoires en milieu aléatoire (MAMA) par rapport au site de la marche. On définit ce concept à l'aide des 2 éléments suivants : - le milieu : on le choisit aléatoirement, - la marche aléatoire : lorsque le milieu est choisi, la loi de la marche en dépend Construction du modèle. Une première approche de MAMA en dimension 1. Tout d'abord, on choisit aléatoirement une suite de coefficients . [...]

[...] et dans [ On rappelle que le système ( est ergodique si tout ensemble T-invariant a une probabilité 0 ou 1.] 3. Récurrence et transience de la marche. On souhaite savoir dans quelle direction va la MAMA à l'infini. On suppose qu'aucun point ne fixe la marche aléatoire et comme les probabilités de transition ont la même loi en tous les points, cela se ramène à l'hypothèse suivante. Hypothèse On définit et on fait les hypothèses suivantes. Hypothèse La suite est stationnaire et ergodique. Hypothèse est bien défini. [...]

[...] Sommaire Chapitre 1 Les marches aléatoires en environnement aléatoire Construction du modèle Problématique Récurrence et transience de la marche La loi forte des grands nombres La loi forte des grands nombres : décomposition des temps d'atteinte La loi forte des grands nombres : avec les chaînes de Markov auxiliaires Le théorème central limite Les grandes déviations Le principe des grandes déviations quenched Le principe des grandes déviations annealed . Chapitre 2 Les marches aléatoires en environnement aléatoire temporaire Construction du modèle 2. La loi faible des grands nombres 3. [...]