Les lois de probabilités

Résumé du document

Loi uniforme :

Définition

Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n est le nombre de valeurs différentes prises par la variable aléatoire (...)

Extraits

[...] Exemple : La distribution des chiffres obtenus au lancer de dé suit une loi uniforme dont la loi de probabilité est la suivante : X P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Esperance mathématique et variance : Dans le cas particulier d'une loi discrète uniforme où les valeurs de la variable aléatoire X correspondent au rang xi = i i L'espérance est : Et la variance : 2/Loi de Bernoulli : Définition : Soit un univers Ω constitué de deux éventualités, S pour succès et E pour échec Ω = sur lequel on construit une variable aléatoire discrète, nombre de succès telle que au cours d'une épreuve, si S est réalisé, X = si E est réalisé, X = 0 On appelle variable de Bernoulli ou variable indicatrice, la variable aléatoire X telle que : X : Ω R X = La loi de probabilité associée à la variable de Bernoulli X telle que, P(X = = q P(X = p avec p+q = 1 est appelée loi de Bernoulli notée Esperance et Variance : L'espérance de la variable de Bernoulli est = p Loi Binomiale : Définition : Soit l'application Sn : Ωn Rn avec Sn = X1 + X2 + + Xi + . + Xn où Xi est une variable de Bernoulli La variable binomiale, Sn , représente le nombre de succès obtenus lors de la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, chaque épreuve ne pouvant donner que deux résultats possibles. Ainsi la loi de probabilité suivie par la somme de n variables de Bernoulli où la probabilité associée au succès est est la loi binomiale de paramètres n et p. [...]

[...] Stabilité de la loi binomiale : Si Sn et Sm sont deux variables indépendantes suivant des lois binomiales respectivement Sn et Sm alors Sn + Sm Loi de Poisson : Découverte par le français Siméon-Denis Poisson, elle s'applique souvent aux phénomènes accidentels où la probabilité p est très faible si le réel pk sont donnés par On note : Esperance et Variance : L'espérance est : La Variance est : Stabilité de la loi de Poisson : Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson Respectivement X P (λ λ) et Y P (μ μ) alors X + P (λ λ+μ μ) 5/Loi binomiale Négative : Définition : X suit une loi binomiale négative de paramètres n et p notée BN si : Esperance et Variance : L'espérance est : La variance est : La Loi Géométrique : Lorsque le nombre de succès n est égal à la loi de la variable aléatoire discrète X porte le nom loi géométrique de paramètre p telle que : LES LOIS CONTINUES : Par définition, les variables aléatoires continues prennent des valeurs continues sur un intervalle donné. [...]

[...] LES LOIS DE PROBABILITES LES LOIS DISCRETES : Les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs entières discontinues sur un intervalle donné. Loi uniforme : Définition : Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n est le nombre de valeurs différentes prises par la variable aléatoire. [...]

[...] Sn : Ωn Rn La probabilité que Sn = c'est à dire l'obtention de k succès au cours de n épreuves indépendantes est : Esperance et Variance : L'espérance est : Et la variance : Symétrie et récurrence de la loi binomiale : La loi binomiale dépend des deux paramètres n et p. Elle est symétrique pour p = 0,5 et dissymétrique pour les autres valeurs de p. La dissymétrie est d'autant plus forte : pour n fixe, que p est différent de q pour p fixe que n est plus petit. [...]