Lois de probabilité usuelles

Résumé du document

On associe généralement une loi de probabilité à une variable aléatoire pour décrire la répartition des valeurs que peut prendre cette variable aléatoire. Formellement, une variable aléatoire est une fonction définie sur un ensemble, appelé univers d'une expérience aléatoire. est l'ensemble des résultats possibles d'une expérience.

Mais en probabilité, les variables aléatoires sont traitées comme de simples variables qui dépendent du hasard. Elles sont mathématiquement désignées par la lettre X ou X ). Une variable aléatoire associe à chaque éventualité (ou solution possible à l'expérience) une valeur numérique.

Une variable aléatoire est dite discrète (ou réelle discrète) lorsque l'univers est fini, c'est-à-dire lorsque les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire sont en nombres dénombrables : A = {x1, ..., xi, ..., xn}. Un ensemble dénombrable signifie que les éléments de cet ensemble peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.

Lorsqu'on a des données statistiques, l'espérance d'une suite de données correspond à la moyenne arithmétique de ces données. En probabilité, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète réelle X (notée E(X)) représente aussi la moyenne arithmétique des valeurs de la variable X pondérées par leurs probabilités. C'est la moyenne arithmétique d'une série de résultats possibles. Elle est interprétée comme étant un indicateur de chance ou de risque moyen (lors de jeux de hasard par exemple).

Extraits

[...] : la probabilité qu'un élève mesure plus de 1m80 est de Expérience 2 : Une variable aléatoire X suit une loi normale N(3 Déterminer x tel que Calculer p=P(3,25 x)=0,6255 )=0,6255 n'est pas un nombre défini : je ne peux donc pas le chercher dans la table comme précédemment. Je sais , donc je vais chercher 0,3745 dans que les séries de nombres de mon tableau .Il n'y est pas donc est un nombre négatif. Je rajouterai un j'en déduis que signe moins devant à la prochaine écriture. Je cherche 0,6255 dans les suites de nombres de ma table : il y est. C'est l'intersection de la ligne correspondant à 0,3 et de la colonne correspondant à 0,02. [...]

[...] On la définit au moyen d'une densité de probabilité. Sa densité de probabilité est la célèbre "courbe en cloche" de Gauss. D'un point de vue mathématique, une variable aléatoire X est distribuée selon une loi normale N(m (noté X si sa densité de probabilité est : 12 (Cette définition est à titre indicatif : vous n'aurez pas à vous servir concrètement de cette fonction. En général, dans les exercices, on vous dira que la loi que vous devez utiliser est une loi Normale, et vous aurez à faire les calculs adéquats). [...]

[...] Sa formule générale est : On a toujours Exemples : 0 Cas 1 : la moyenne en mathématiques est de 10/20. On calcule la variance et on obtient : V(X)=0. La variance est nulle. Interprétation : tous les élèves sont moyens. Cas 2 : la moyenne en français est de 10/20 également. On calcule la variance est on obtient V(X)=0,62. La variance est élevée. Interprétation : certains élèves sont très forts et d'autres très faibles. [...]

[...] Ecart-type En probabilités, l'écart-type mesure la dispersion d'une série de valeur autour de leur moyenne. Plus l'écart-type (noté σ) est élevé, plus grande est la dispersion des observations d'une variable. Plus l'écart-type est faible, plus il y a homogénéité. L'écart-type est un outil plus précis que la variance pour évoquer la dispersion autour d'une moyenne (cf précédemment) L'écart-type est utile pour comparer la dispersion d'une variable dans une même population à des temps différents ou auprès de deux populations comparables. [...]

[...] Quelle est la probabilité pour qu'à l'arrivée l'écart entre les 2 garçons soit d'au moins 1 mètre ? Réponse : On cherche la somme des pas : Soit la distance parcourue pars Pierre au pas Soit la distance parcourue par Paul au pas La question posée se traduit par la probabilité suivante : et (il faut convertir les cm en mètres). et sont des variables indépendantes et de même loi. n=1000 et Donc je peux utiliser le Théorème Central Limite (TCL). [...]