Les lois classiques en probabilité

Thèmes abordés

Loi de probabilité - Tables - Exemples - Épreuve de Bernoulli - Degré de liberté

Résumé du document

Ce document présente un résumé des lois classiques que l'on peut retrouver lorsque l'on aborde les probabilités.

Extrait :
"Épreuve de Bernoulli :
Soit deux événements mutuellement exclusifs A et son contraire B (pile/face; garçon/fille; résultat positif/négatif). Toute réalisation de l'expérience aura comme résultat A ou B. Cette épreuve est appelée épreuve de Bernoulli.

A chaque épreuve on associe X telle que :
X = 1 quand A est réalisé
X = 0 quand B est réalisé
La loi de probabilité de X est
P(X=1) = p
P(X=0) = q = 1-p
E(x) =SPixi = 1 * p + (1-p)*0 = p
Var(X) = p * (1-p) = pq"

Extraits

[...] A l'intersection, on lit  . Cette table permet de connaître pour alpha donné la distance  telle que la probabilité d'être à l'intérieur de l'intervalle  ±  soit alpha. Tables de la loi Normale < number > < number > Table de la loi normale < number > Table de la loi normale < number > Loi du khi2 Une variable Khi 2 à n degrés de liberté (DDL) est une somme des n carrés de variables centrées réduites indépendantes. Densité de probabilité : une courbe pour chaque valeur de n Loi non symétrique Avec DDL = le Khi 2 est le carré d'une variable centrée réduite (pour alpha = 0,05 u = Khi2 = 3,84) Mode = n Moyenne = n Variance = 2 n Quand n > 30 la loi tend vers une loi normale X 2 - n 2*n u = i=1 X 2 =  u i n 2 < number > < number > Table du Khi2 < number > Découverte par Gosset qui la publie sous le pseudonyme de Student. [...]

[...] Loi très fréquente dans les phénomènes biologiques et médicaux. Si des variables sont gaussiennes (L. Normale = L. de Laplace Gauss) il en est de même de leur somme et de leur différence. Attention, le mélange de deux groupes dans lesquels une variable suit une loi normale ne donne pas une distribution normale sauf si les deux groupes sont issus de distribution ayant même moyenne et même écart type. [...]

[...] Dès que n > 30 les deux lois sont pratiquement confondues Sert à la comparaison des moyennes Table la plus utilisée donne en fonction de et de la probabilité d'être à l'extérieur de l'intervalle la valeur de t. t = u X 2 n n = t / 2 Loi t de Student < number > < number > Table du t de Student < number > Loi F de Snedecor Densité de probabilité : formule compliquée caractérisée par les degrés de liberté n1 et n2 Dissymétrie gauche comme le Khi2 On montre que si deux variables indépendantes Y1 et Y2 suivent une distribution du khi2 à n1 et n2 DDL F suit une loi de F de Snedecor à n1 et n2 DDL, son inverse suit également une loi de F à n2 et n1 DDL. [...]

[...] La moyenne de n variables non gaussiennes indépendantes tend à devenir gaussienne quand n est grand. Souvent une transformation simple (log, racine . ) permet de mener à une distribution normale (loi log normal). < number > < number >  ±   ± 1,96 *   ±  Loi Normale : valeurs remarquables   -   +   1,96 1,96   2,6 2,6  < number > < number > Écart réduit phi(u) = - u = On lit u en additionnant en-tête de ligne et de colonne. A l'intersection, on lit la probabilité u). [...]

[...] < number > < number > Variable binaire 2 paramètres n : nombre de répétitions p : probabilité de l'événement Loi = Cnk pk qn-k Distribution asymétrique sauf pour p=q=0,5 Formule de récurrence Moyenne = n*p Variance Var(K) = n*p*q Si l'on considère f = on a : = p Var = K = = p * q * + * p * q n Loi Binomiale : Résumé < number > < number > p = 0,05 q = 0,95 = C 0,05 * 0,95 = 0,599 D'où = 0,598 = p = 0,5 q = 0,5 = C 0,5 * 0,5 = * = * = 0,375 = 0,25 = Exemple de distribution binomiale Nombre de garçons dans les familles de 4 enfants sachant que p = 0,5 Nombre d'examens positifs sans qu'il y ait de maladie dans un bilan de 10 paramètres sachant que la spécificité est de < number > < number > Loi de Poisson Variable discontinue pouvant prendre toutes les valeurs entières positives + infini) Cas limite des distributions binomiales quand p est petit et n grand. Dans ce cas n*p tend vers m. [...]