Probabilités : la loi normale

Résumé du document

Remarque : la loi normale est aussi appelée loi de Laplace1-Gauss2.
La courbe représentative de la fonction f est nommée courbe de Gauss.

Voici les courbes de Gauss pour m = 0 et = 1, et pour m = 2 et = 1, 5.
Représenter sur le dessin, dans chacun des cas P(X 6 1) et P(1, 5 6 X 6 2).
Sur le second graphique, représenter P(X > 3) (...)

Extraits

[...] Cette fonction f est appel´ee densit´e de probabilit´e de la variable Z tal´eatoire X. La fonction F , qui tout r´eel t associe le nombre P 6 = f (x)dx est appel´ee fonction de r´epartition de X. eor` eme 1 (admis) Soit X une variable al´eatoire continue de densit´e de probabilit´e f . Z b f (x)dx. Pour tous r´eels a et on a : P 6 X 6 = a Cette probabilit´e est l'aire de la surface comprise entre la courbe repr´esentative de f , l'axe des abscisses et les droites d'´equations x = a et x = b. [...]

[...] Calculer et repr´esenter P et P > efinition et propri´ es de la loi normale efinition 2 Soit m σ et X une variable al´eatoire continue. On dit que la variable al´eatoire X suit la loi normale de param`etres m et σ, et on note X L'ensemble des valeurs prises par X est l'ensemble de tous les r´eels : X(Ω) = R. La densit´e de probabilit´e de X est la fonction f d´efinie par : 1 f = e σ 2π 1 N lorsque : 2 σ ) Remarque : la loi normale est aussi appel´ee loi de Laplace1 -Gauss La courbe repr´esentative de la fonction f est nomm´ee courbe de Gauss. [...]

[...] Cette formule est justifi´ee par la sym´etrie de la courbe de la fonction de densit´e par rapport l'axe des ordonn´ees (voir graphique ci-dessus). Une table de la loi normale se trouve sur le formulaire de l'examen. Exemple Soit X une variable al´eatoire de loi N 1). D´eterminer P P 51) et P ( [...]

[...] Z eor` eme 3 (admis) Soit X une variable al´eatoire suivant une loi normale N σ). X La variable al´eatoire X d´efinie par X = suit la loi N 1). σ X On a alors : X 6 t X m 6 t m 6 σ σ σ On utilise enfin une table donnant des valeurs approch´ees des probabilit´es P 6 not´ees pour t compris entre 0 et 4,5. Dans la cas u t est n´egatif, on utilise l'´egalit´e = 1 Π(t) pour conclure. [...]

[...] Si on applique ces r`egles dans le cas de variables al´eatoires suivant des lois normales, on obtient les r´esultats suivants : eor` eme 2 (admis) Soit X une variable al´eatoire de loi N σ) et Y une variable al´eatoire de loi N , σ Soit a et b deux r´eels, avec a 0. La variable al´eatoire aX + b suit la loi N (am + a σ). p Si X et Y sont ind´ependantes, alors la variable al´eatoire X + Y suit la loi N + , pσ 2 + σ Si X et Y sont ind´ependantes, alors la variable al´eatoire X Y suit la loi N , σ 2 + σ ) Calcul pratique Soit X une variable al´eatoire suivant une loi normale N σ). Soit t R. [...]