La loi binomiale (loi de Bernoulli)

Résumé du document

La loi binomiale ou loi de Bernoulli est utilisée lorsque la variable observée ne peut prendre que deux résultats possibles. Par conséquent, le résultat est
binaire : succès ou échec, vrai ou faux, oui ou non, favorable ou défavorable, correct ou incorrect, bon ou défectueux, etc. Une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs 1 et 0 auxquelles sont associées les probabilités p et q , tel que p + q =1, alors les probabilités peuvent s'exprimer uniquement à l'aide de l'une d'entre elles : p et q = 1 - p.

Une variable de cette nature s'appelle une variable de Bernoulli.

La réalisation de n épreuves sur une variable de Bernoulli s'appelle épreuves de Bernoulli ou expériences de Bernoulli. L'application de cette réalisation doit remplir les conditions suivantes :
- le résultat est binaire donc deux résultats possibles, mutuellement exclusifs
- on fixe préalablement aux n expériences, la condition de réalisation de l'événement qualifié de 'succès'. On ne s'intéressera par la suite qu'au
dénombrement des événements 'succès'
- la probabilité de l'événement reste la même à chaque épreuve. Par conséquent, la sélection (le tirage) est non exhaustive
- les expériences sont indépendantes. Par conséquent, les conditions de sélection sont identiques, et chaque sélection n'affecte ni la population pour
l'épreuve suivante ni la probabilité du résultat suivant.

Le qualificatif de 'succès' signifie que le test de la question posée se vérifie lors de l'épreuve. Par exemple si la question posée est 'verifiée si la pièce fabriquée est défectueuse', le tirage d'une pièce défectueuse d'un lot est un succès pour une pièce défectueuse et un échec sinon.

Extraits

[...] La loi binomiale (loi de Bernoulli) La loi binomiale (loi de Bernoulli) Variable de Bernoulli La loi binomiale ou loi de Bernoulli est utilisée lorsque la variable observée ne peut prendre que 2 résultats possibles. Par conséquent le résultat est binaire: succès ou échec, vrai ou faux, oui ou non, favorable ou défavorable, correct ou incorrect, bon ou défectueux Une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs 1 et 0 auxquelles sont associées les probabilités p et q , tel que p + q = alors les probabilités peuvent s'exprimer uniquement à l'aide de l'une d'entre elles: p et de cette nature s'appelle une variable de Bernoulli. [...]

[...] Les conditions empiriques suivantes doivent être vérifiées pour une bonne approximation: n>5 et X = = p p ) / p / n = 0,3 Si ces conditions sont respectées alors : X N npq ) Comparaison de diverses distributions binomiales lorsque p varie C x p x q n x avec n =16 n x total p=0,9 p=0,5 Les courbes des lois binomiales X B ( p ) pour n=16 et p étant les valeurs du tableau ci-dessus, sont : Distributions avec diverses valeurs de p=0,9 p=0,75 p=0,5 p=0,25 p=0,1 x Les valeurs en abscisses représentent les 17 possibilités d'obtenir le succès (de 0 à 16) X = = C x p x q n x n p n Tableau de la loi binomiale x p n x p n x p n x p n x p n x Loi binomiale en proportion Il arrive qu'au lieu de s'intéresser au nombre absolu d'événements, nous soyons amenés à nous intéresser à sa fréquence d'occurrence. La variable aléatoire n'est plus X mais X = Fn avec n la taille de la population. n Nous pouvons écrire : k P(X P(Fn)=Cn p k p)n k et Cette loi sont : L(Fn) L est appelée loi binomiale en proportion. [...]

[...] Cette loi est donnée par l'expression: X = = C x p x q n x n X = = C x p x n x n avec x = n et 0 p 1 Cette loi binomiale ne dépend que de 2 paramètres, le binôme terminologie de loi binomiale. On la note : ou encore n et p , d'où la X B ( p ) Elle possède comme fonction de répartition F ) : r j j j avec r x [...]

[...] La réalisation de n épreuves, aboutit à une distribution correspondant à une distribution de Bernoulli qui suit une loi de même nom. Les paramètres caractéristiques de cette loi, sont: 1 µ = np VAR = np p ) x σ = np x Remarque : en général pour les variables discrètes on parle de 'moyenne' plutôt que d'utiliser le symbole µ qui lui est réservé aux variables continues. Mais lorsque le nombre d'épreuves est grand il est possible de confondre le continu et le discret. [...]

[...] Il s'agit donc de considérer 17 cas de figure: 0 "face" à 16 "face" La tableau des calculs des probabilités sera: C x p xqn x n 0,99998474=1 x Cx n px 6,1035E-05 3,0518E-05 1,5259E-05 qn x 1,52588E-05 3,05176E-05 6,10352E- X = = La distribution de probabilités a pour représentation graphique: Vous remarquerez dans ce cas précis, lorsqu'il existe un nombre de plus en plus grand d'épreuves, avec une équiprobabilité de p et q , la similitude de la distribution de la loi binomiale avec la loi normale. Il advient que dans certaines conditions la loi binomiale peut être approximée par la loi normale. [...]