La logique des propositions

Résumé du document

La « vérité » d'une affirmation quelconque est une chose délicate à vérifier dans la vie courante. On peut toujours dire des demi-vérités ou mentir par omission !
Heureusement en mathématique les choses doivent être plus tranchées. La « valeur de vérité » d'une affirmation ne peut être que Vraie ou Fausse (principe du tiers exclus).

(...) Pour les propositions, il s'agira donc d'envisager toutes les valeurs de vérité possibles pour en déduire un ensemble de propriétés cohérent. Il existe toute une partie de la logique qui étudie ces propositions, leur composition à l'aide de connecteurs logiques, et en donne les lois, les propriétés et des théorèmes que nous allons esquisser dans ce cours : c'est la logique propositionnelle.

(...) Pour 3 propositions cela devient plus copieux avec 8 possibilités. Il est aisé de comprendre que chaque proposition supplémentaire multiplie par 2 le nombre des possibilités.
Pour n propositions on aura donc 2n possibilités. C'est du binaire !
On construit alors des tables comportant toutes les possibilités des valeurs de vérité : les tables de vérité (...)

Extraits

[...] Pour 2 propositions il y aura 4 cas à envisager. Pour 3 propositions cela devient plus copieux avec 8 possibilités. Il est aisé de comprendre que chaque proposition supplémentaire multiplie par 2 le nombre des possibilités. Pour n propositions on aura donc 2n possibilités. C'est du binaire ! On construit alors des tables comportant toutes les possibilités des valeurs de vérité : les tables de vérité. Un exemple à compléter Ce n'est pas toujours aussi simple, mais cet exemple n'est pas mathématique ! [...]

[...] Encore une fois : la logique commune n'est pas toujours celle des propositions. p ( loi du tiers exclu ( ( p loi de la double négation p ( ( ( ( ( ( distributivité de par rapport à p ( ( ( ( ( ( distributivité de par rapport à ( ( q ( ( loi de contraposition Une implication est équivalente à sa contraposée (revoir l'exemple du loto et de la voiture Des exercices sur ces lois seront proposés en TP. [...]

[...] alors . que l'on utilise dans le langage courant ! La logique de tous les jours n'envisage que les cas où si la condition est réalisée alors la conclusion sera vraie, mais si la condition n'est pas réalisée alors la conclusion sera fausse. Exemples : Si je gagne au loto alors je t'achète une voiture ABCD est un carré ( ABCD est un parallélogramme Le fameux syllogisme de Socrate majeure : Tous les hommes sont mortels mineure : Or Socrate est un homme conclusion : Donc Socrate est mortel peut se vérifier par des appartenances et des inclusions dans un diagramme. [...]

[...] Pour vérifier toute propriété on en dressera une table de vérité complète. Opérations sur les propositions A partir d'une ou plusieurs propositions on peut en générer d'autres, établir des lois et théorèmes à l'aide des connecteurs logiques : ( (négation) ( (conjonction) ( (disjonction) et ( (implication) et de leurs tables de vérité définies ci-dessous. Négation (non) La négation d'une proposition se traduit en langage ensembliste par la complémentation : Soit un ensemble A inclus dans E et la proposition p. [...]

[...] On peut toujours dire des demi-vérités ou mentir par omission ! Heureusement en mathématique les choses doivent être plus tranchées. La valeur de vérité d'une affirmation ne peut être que Vraie ou Fausse (principe du tiers exclus). Une assertion est un fait pour lequel on peut dire sans ambiguïté s'il est Vrai ou Faux. Exemples : 3 divise 12 25 est multiple de 10 0 ( ℕ 1,35 ( ℤ Une proposition est une affirmation dont on ne peut pas dire immédiatement si elle est Vraie ou Fausse. [...]