La logique en Mathématiques

Résumé du document

Cours niveau Licence / classe préparatoire sur la logique en Mathématiques : définition d'un ensemble, d'un prédicat, d'une assertion, explication des différents connecteurs logiques, etc.

Extraits

[...] Les parties de E forment un ensemble noté P Si A est une partie de on note A E (ou A P Tout ensemble contient l'ensemble vide noté (et non qui ne contient aucun élément. Pour montrer l'égalité de deux ensembles E et on peut : effectuer une double inclusion F et F E). raisonner par équivalences E x F). Si E et F sont deux ensembles, et si x E et y le couple désigne l'ensemble . Propriété fondamentale : si x et x sont dans E et y et y dans = , y ) si et seulement si x = x et y = y . [...]

[...] absurde : on suppose p et et on arrive à une contradiction. Analyse des cas : pour montrer une propriété on choisit convenablement (et c'est là la difficulté une proposition q et on montre q p et p. Théorèmes d'existence : en général, l'existence se fait par construction ou exhibition. On peut parfois raisonner par l'absurde. Il peut être intéressant de faire un raisonnement par conditions nécessaires surtout lorsqu'on doit montrer l'unicité en plus de l'existence, ou lorsqu'apparaissent des paramètres : pour montrer E on suppose que x existe vérifiant et on obtient des renseignements sur x par implications. [...]

[...] Quelques propriétés : B et C étant des parties d'un ensemble E : A A = A A = A A B = B A A B = B A A = C A = C A = A = A = A A E = A = = = E A = 3 Connecteurs logiques Les connecteurs logiques principaux sont et Il permettent de définir de nouvelles assertions grâce aux tables de vérité suivantes : p V F V F q F F V V F V F V F F V F V F V V F V V V F V V F 1 Deux assertions P et Q sont tautologiquement équivalentes si elles ont même table de vérité. On note P Q. Exemples : et (lois de De Morgan). p q (base du raisonnement par contraposition). [...]

[...] p q (base de la double implication). p q q : permet d'obtenir le contraire de p q sous la forme p Une tautologie est une assertion toujours vraie. Exemples : : base du principe de non contradiction. p : principe du tiers exclu. p q : base de la preuve directe ou de la règle du Modus Ponens. : transitivité de l'implication. p : principe d'incompatibilité Prouver et vérifier Pour prouver un résultat, on utilise des axiomes (assertions généralement déduites de tautologies) et des règles de démonstration (comme Modus Ponens). [...]

[...] Le contraire de E (resp. E est E (resp. E Exemples types de démonstration Dans une démonstration (utilisant une axiomatique), montrer p q revient à vérifier (ou à prouver) que p q est une assertion vraie. On peut montrer p q par : preuve directe : on suppose p et on montre q par utilisation d'autres théorèmes ou axiomes. Attention ! en général, on se sert de p en cours de démonstration, mais pas nécessairement au début de celle-ci. contraposition : on montre au lieu de p q. [...]