La logique

Thèmes abordés

Logique, quantificateur, analyse, synthèse, absurde, négation, méthode de démonstration, implication, équivalence

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques sur la logique, s'attardant sur les propriétés et les quantificateurs.

Extraits

[...] et 𝑃 ⇒ 𝑃 (𝑛 + Alors pour tout 𝑛 ∈ 𝑃 (𝑛) est vraie. Raisonnement par analyse/synthèse Ce raisonnement est une rédaction particulière qui permet de déterminer toutes les solutions ou tous les éléments d'un ensemble qui satisfait une proposition 𝑃 . Structure de la rédaction Analyse : Soit 𝑥 ∈ 𝐸. Nécessairement, si 𝑥 vérifie 𝑃 Alors . Ici, on mène un raisonnement ou des calculs dont le but est de déterminer toutes les possibilités pour 𝑥. Synthèse : Réciproquement, posons 𝑥 = . [...]

[...] La négation de « il existe un étudiant qui aime le chocolat » est « Tous les étudiants n'aiment pas le chocolat ». Proposition I.3.2.2 : Échange de quantificateur On peut toujours échanger des quantificateurs universels ∀ entre eux, et des quantificateurs existentiels ∃ entre eux, mais on ne peut pas échanger des quantificateurs universels ∀ et des quantificateurs existentiels ∃. Exemple I « ∀𝑥 ∈ ∀𝑦 ∈ ℝ[−], 𝑥 𝑦 » est équivalente à « ∀𝑦 ∈ ℝ[−], ∀𝑥 ∈ 𝑥 𝑦 » 2. [...]

[...] D'où le deuxième point. □ Théorème I.2.9 : Contraposée La proposition « 𝑃 ⇒ 𝑄 » est équivalente à la proposition « 𝑄 ⇒ 𝑃 », appelée contraposée. Preuve : Par définition, « 𝑄 ⇒ 𝑃 » est équivalente à « 𝑄 ou 𝑃 ». Or « 𝑄 = 𝑄 », donc « 𝑄 ou 𝑃 » est équivalente à « 𝑄 ou 𝑃 ». En utilisant la commutativité, « 𝑄 ou 𝑃 » est équivalente à « 𝑃 ou 𝑄 ». [...]

[...] 𝑅 est fausse. Démontrer une équivalence : 𝑃 ⇔ 𝑄 Méthode 1 : On procède par une suite d'équivalence : 𝑃 ⇔ 𝑃1 ⇔ 𝑃2 ⇔ . ⇔ 𝑃𝑛 ⇔ 𝑄 Exemple I.4.2.19 Montrons que pour tout 𝑥 ∈ on a 𝑥[2] − 3𝑥 [...]

[...] Dans ce cas, on peut simplifier par 𝑥 = 0 et obtenir √ 2 − 7𝑥 = 3𝑥. En élevant au carré : 2 − 7𝑥 = 9𝑥[2], i.e. 9𝑥[2] + 7𝑥 − 2 = 0. On peut factoriser le polynôme à l'aide de ses racines : 9𝑥[2] + 7𝑥 − 2 = 0 est équivalent à 9 (𝑥 + 1)(𝑥 − = Ainsi, nécessairement, 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −1 ou 𝑥 = Synthèse : Réciproquement, vérifions que les candidats ci-dessus sont solutions. [...]