Le logarithme népérien (Terminale S)

Résumé du document

Cours de mathématiques de Terminale S sur la fonction logarithme népérien : définitions, théorèmes, exemples d'application et primitives de la fonction logarithme.

Extraits

[...] e ln( x)=x. En effet, par définition lnx est l'unique solution de l'équation d'inconnue a : e a donc e lnx On dit que la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont des fonctions réciproques. II. Propriété fondamentale et conséquences Propriété : Quels que soient les réels a et b strictement positifs, ln( Démonstration : e ln( et e ln( e ln( e ln( donc e ln( e ln( donc ln( Propriétés : Pour tous les réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif on a : ln( a 1 ln( a p ) =pln( 1 ln( a ln( 2 Propriété (admise) fondamentale caractéristique de la fonction logarithme népérien : La fonction logarithme népérien est l'unique fonction vérifiant pour tout a et b strictement positif avec f(1)=0. [...]

[...] (car ln est continue en X h A e P a g e 1 s u r 3 Or, la fonction exp est dérivable en A et A)=exp( donc lim Donc lim A eA = e A >0. A ln( = A = ln( = . Ceci justifie que ln est dérivable et que . h a x e e 1 donc la fonction ln est strictement croissante sur õ[. x + õ L'étude du comportement à l'infini et en 0 donne les résultats : lim ln( õ et Tableau de variation et courbe représentative x ln lim ln( õ (cf. ex 3). [...]

[...] Logarithme népérien I. Définition de la fonction logarithme népérien Introduction On sait que la fonction exponentielle est définie, dérivable et continue sur Ë. La fonction exponentielle est strictement croissante sur Ë. De plus lim e x et lim e x õ donc d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel õ õ l'équation e x admet une unique solution réelle. Logarithme népérien d'un réel Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel b strictement positif, l'unique solution de l'équation d'inconnue a : e a =b. [...]