Le logarithme népérien - publié le 11/01/2008

Résumé du document

Le logarithme népérien est une partie du programme de mathématiques très important en Terminale. En effet ce sera la base ensuite du programme sur l'exponentielle, le logarithme décimal et même en physique (et surtout en chimie).

Extraits

[...] Définition Conséquences immédiates Continuité et dérivabilité Sens de variation et signe de ln x Propriété fondamentale : Logarithme d'un produit Conséquences : logarithme d'un quotient, d'un inverse Etude d'une relation fonctionnelle Limites et représentation graphique de la fonction ln Limites en + et en 0 Tableau de variation et Courbe représentative Croissance comparée IV. Fonction logarithme décimal V. Fonctions composées ln ο u Un peu d'histoire des maths L'invention des logarithmes Alors qu'il travaillait à simplifier les calculs trigonométriques des astronomes, le mathématicien écossais John Neper (1550-1617) fut amené à généraliser les travaux de Nicolas Chuquet et Michael Stifel sur les liens entre progressions arithmétique et géométrique. [...]

[...] En 1624, son ami anglais Henry Briggs compléta ce travail avec une table de logarithmes décimaux. Les logarithmes représentèrent une révolution dans le monde du calcul. Képler notait en 1624 : je résous la question par le bienfait des logarithmes, je ne pense pas que quelque chose soit supérieure à la théorie de Néper Plus tard, avec Descartes puis Euler, le logarithme prendra son statut de fonction. I. Définition et premières propriétés La fonction exponentielle x ï ex est continue et strictement croissante sur Y. [...]

[...] Pour tout x > 0 et pour tout réel y x=e y = ln x équivaut à . Continuité et dérivabilité : La fonction ln est continue sur (admis) La fonction ln est dérivable sur 1 et ln = x Pour des petites valeurs de ln(1+h) h Sens de variation et signe de ln x : La fonction ln est strictement croissante sur De plus ln 1 = d'où : ln x = 0 équivaut à x = 1 ln x ln x > 0 équivaut à x Pour tous réels a et b strictement positifs : ln a = ln b équivaut à a = b ln a [...]

[...] M y Propriété : x y = ex x x y = ln x y Croissance comparée : ln x Pour tout entier lim n = 0 et lim x n ln x = 0 x x x On retiendra : à l'infini, les puissances de x l'emportent sur le logarithme de x Autres limites à connaître : ln(1 + lim h h et ln x lim x x 1 IV. Fonction logarithme décimal Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log ln x définie sur ; par log x = ln 10 En particulier, log10 = 1 et log 1 = 0. [...]

[...] Propriétés : La fonction log est dérivable sur ; Elle est strictement croissante sur cet intervalle car ln10>0. La fonction log possède toutes les propriétés algébriques de la fonction ln. [...]