Limites d'une fonction réelle de variable réelle

Vincent P.

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Cours de Mathématiques sur les limites fonctions. Après un rappel des acquis du Lycée, le cours revoit les différents types de limites qui existent au travers de divers théorèmes et contient également des exercices.

Sommaire

I) Rappels des notions principales vues au Lycée

A. Quand peut-on parler de la limite d'une fonction en un point ?
B. Limites classiques
C. Limite d'une fonction composée
D. Opérations algébriques sur les limites
E. Formes indéterminées et méthodes pour lever l'indétermination
F. Limite à droite et limite à gauche en un pointfini
G. Limites et inégalités

II) Une fonction admet-elle toujours une limite en un point ?

III) Théorème de la limite monotone

IV) Définitions formalisées des limites

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Extraits

[...] Exemple : lim 2 x 3x + 2 Factorisation du terme pr´epond´erant Exemple : lim x2 3 ln x + 2 = Cette m´ethode convient sp´ecialement avec les formes ind´etermin´ees du type ou Utilisation de l'expression conjugu´ee quand on a des radicaux 1 Exemple : x + 1 x = tend vers 0 quand x tend vers x Utilisation des logarithmes et d'exponentielles 1 ln(1 + x Exemple 1 : + x = e tend vers e quand x tend vers 0. x x ln x Exemple 2 : x = e tend vers 1 quand x tend vers . Exercice d'application 3 D´eterminer les limites suivantes x3 2x2 + 2x x sin x a. lim ; b. lim 3 2 ; c. lim x x + x 1 x 1 cos x x x p 1 d. [...]

[...] Point ethode Ce th´eor`eme est tr`es utile pour montrer qu'une fonction f n'a pas de limite en un point x0 (fini ou infini). Pour cela, il suffit d'exhiber : - soit une suite (un convergeant vers x0 et telle que la suite (un n'a pas de limite ; - soit exhiber deux suites (un et (vn convergeant toutes les deux vers x0 et telles que les suites (un et (vn aient des limites diff´erentes Exemple : Montrons que la fonction x f = cos(x) n'a pas de limite en Premi`ere m´ethode : On consid`ere la suite de terme g´en´eral xn = nπ. [...]

[...] Soit f une fonction r´eelle telle que Df . efinition 1 On dit que f a pour limite l R lorsque x tend vers x0 si > > α, x0 + , f l ε ; f tend vers lorsque x tend vers x0 si > > α, x0 + , f A ; f tend vers lorsque x tend vers x0 si > > α, x0 + , f Exercice d'application 7 Montrer , en appliquant la d´efinition que lim x + 1 = 1. [...]

[...] efinition 3 On dit que f a pour limite l R lorsque x tend vers si > [...]

[...] avec le signe de m ? ? ? Le symbole ? indique qu'on ne peut conclure ; les formes ind´etermin´ees sont du type 4 ou Formes ind´ etermin´ ees et ethodes pour lever l'ind´ etermination Formes ind´ etermin´ ees Les cas d'ind´etermination se ram`enent en g´en´eral aux 7 cas suivants : 1. f + g quandf et g ; 2. [...]

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