Limites et continuité d'une fonction en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Limites et continuité d'une fonction en mathématiques, formules mathématiques, valeurs intermédiaires, théorème d'encadrement, théorème des valeurs intermédiaires, bijections réciproques

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques s'attachant à présenter les limites et les continuités d'une fonction. Sous la forme de formules mathématiques, il présente diverses définitions, des théorèmes tels que celui d'encadrement ou des valeurs intermédiaires, ainsi que des opérations. Diverses remarques et corollaires accompagnent celles-ci. Certains principes sont explicités, par exemple celui-ci : "un voisinage de l contient tous les réels "proches" de l". Concernant les opérations, on a exactement les mêmes résultats que pour les suites pour sommes, produits, inverses et les mêmes formes indéterminée.

Extraits

[...] On dit que est continue à droite en si l'est. On a alors . Théorème : Soit est continue en est continue à gauche et à droite en a. B. Prolongement par continuité Définition - théorème : Soit . Soit continues sur b]. On suppose que existe dans . On note le prolongement de sur obtenue comme Alors : . En pratique, est souvent noté . C. Opérations Théorème : Soit . Soit . Si et sont continus en , alors : est continu en . [...]

[...] Si : existe et vaut et existent et valent . II. Manipulation de limites A. Opérations Remarque : On a exactement les mêmes résultats que pour les suites pour sommes, produits, inverses et les mêmes formes indéterminée. Théorème : Soit . Soit . Si et , alors . Théorème : Soit . Si au voisinage de a. Si au voisinage de a. Théorème : Soit , soit . Si et existent, si de plus au voisinage de , alors . [...]

[...] Si est strictement croissante, est une bijection de sur . Si est strictement décroissante, est une bijection de sur . Si est strictement croissante, est une bijection de sur . C. Théorème des bornes atteintes Théorème : Soit . Soit . Alors, est borné et atteint ses bornes. D. Bijections réciproques Théorème : Soit . Soit . On a l'équivalence : est injective. est strictement monotone sur . Si ces conditions sont vraies : existe, est continue, strictement monotone de même sens de variation que sur . [...]

[...] On suppose que = 0 et que f est bornée au voisinage de a. Alors . B. Limite monotone Théorème : Soit avec a [...]

[...] Limites et continuité d'une fonction I. Définition A. Définition Définition : Soit . Un voisinage de est : Si , tout intervalle de la forme . Si , tout intervalle du type . Si , tout intervalle du type . Principe : Un voisinage de contient tous les réels proches de . Proposition : Soit . Il existe un voisinage de et un voisinage de l' tels que : . Si et sont des voisinages de alors . Définition : Soit D ℝ. [...]