Les limites - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Les limites

Extraits

[...] Au voisinage de on sait que x+1(x. Tout est donc un et un produit du type o(x+1)o(x3) sera un o(x). o(x3) et par suite un o(x4) d'après la règle multiplicative. Au voisinage de ln(x) est négligeable devant toute puissance positive de x. Ainsi ln(x)+x3 (x3 et tout o(ln(x)+x3) sera aussi un o(x3). Au voisinage de ln(x) est négligeable devant toute puissance xa avec a(0. Ainsi est un o(x2-a) et tout est aussi un o(x2-a) quel que soit a (0. _ Au voisinage de ln(1+x) (x. [...]

[...] Etudions alors la différence Celle ci équivaut au voisinage de 0 à - , ce qui montre que la seule valeur possible pour le paramètre b est - . Formons alors la différence L'examen rapide du comportement des numérateurs et dénominateurs au voisinage de 0 nous montre que est bien équivalent à un multiple de x3. Plus précisément, on obtient = ( au voisinage de 0. Le développement usuel de cos au voisinage de 0 donne alors : cos(x)=1- et . On en déduit puis cos(x)-cos²( , ceci toujours au On conclut donc ( au voisinage de 0. [...]

[...] Plus généralement, si on dispose au voisinage de 0 d'une majoration du type avec u de limite nulle en la fonction g aura aussi pour limite 0 à l'origine. En effet, pour réaliser pour un ( donné, il suffira de rendre strictement inférieur à ce qui sera toujours possible vu l'hypothèse sur u. Limite d'une restriction. Théorème : Si la fonction f définie sur l'ensemble I admet une limite l au point toute restriction g de f à un sous-ensemble J de I tel que a adhère encore à J admet aussi pour limite l en ce même point a. Preuve. [...]

[...] Dans la pratique on renverra donc fréquemment les études locales proposées à une analyse à l'origine 0 où sont donnés les développements des fonctions usuelles. Fonctions équivalentes et fonctions de limites égales en un point. Ces deux notions ont des liens mais sont loin d'être synonymes ! Ainsi deux fonctions tendant vers en x0 n'ont aucune raison de voir leur quotient tendre vers de même si ces deux fonctions sont de limite nulle au point d'étude. Dans les situations envisagées nous sommes en effet dans les cas d'indétermination du quotient et les contre-exemples sont légion. [...]

[...] _ Symétrie. Si g équivaut à f au alors f équivaut à g au V(x0). f ( g . _ Transitivité. Si au h est équivalente à g et g équivalente à alors h équivaut à f en x0 et g ( h ( f . _ Produits, inverses, quotients. Si au voisinage de x0 on sait que u et f ( on peut alors en déduire, au voisinage de x0 : représentant un exposant réel fixe et sous réserve que les fonctions définies par les opérations ci dessus soient effectivement définies au voisinage de x0) _ Remplacement d'un terme par un équivalent dans une relation de négligeabilité. [...]