Euler et les mathématiques

Résumé du document

Leonhard Euler, nâquit en Suisse, à Bâle en 1707 dans une famille pauvre. Il prit connaissance des mathématiques très tôt grâce à son père qui lui donna les premiers rudiments de cette matière. Durant son adolescence, il étudia le droit et la philosophie à l'Université. Il obtiendra son diplôme de philosophie à 16 ans. Puis il devint l'élève de Jean Bernouilli, grand mathématicien, qui remarqua son talent pour les mathématiques. Il quitta la Suisse en 1727, appelé par la Cour de Catherine II, impératrice de Russie où il deviendra membre de l'Académie des sciences (...)

Extraits

[...] Exemple : Le cube a 6 faces sommets et 12 arêtes. F IGURE 3. Un polyèdre convexe : le cube Appliquons le théorème : S F + A = 8 12 + 6 = + 6 = 2. Cela fonctionne effectivement. Un polyèdre est un solide de l'espace délimité par un nombre fini de polygones, tel que chaque côté de chaque polygone est commun avec un côté d'un autre polygone. Les sommets des polygones sont appelés sommets du polyèdre, les côtés des polygones sont appelés arêtes, tandis que les polygones sont les faces du polyèdre. [...]

[...] ) Algèbre et géométrie Les nombres complexes Avant Euler, la notion de racine carrée de nombre négatif n'était pas validée. L'appellation nombre imaginaire pour ces nombres est introduit par Descartes. A cette époque, une grande confusion réside dans l'équation : 2 = = a b = ab qui aboutit au résultat absurde : avec l'identité algébrique p = = = 1 = 1. En 1770, Euler introduit une nouvelle formule : i2 = Ce qui permit d'éviter cette notion de racine carrée négative Liens entre l'exponentielle et la trigonométrie Théorème 3.1 Pour tout x R eix = cos(x) + isin(x) Théorème 3.2 eiπ + 1 = 0 Démonstration: Elle se démontre à l'aide du théorème 3.1 On sait donc que : eix = cos(x) + isin(x) Alors : eiπ = cos(π) + isin(π) eiπ = + i 0 eiπ + 1 = 0 C.Q.F.D Pour facilement se convaincre du passage de à on peut construire un cercle trigonométrique (Fig ) F IGURE 2. [...]

[...] La somme est approximativement de Euler prouva que sa valeur exacte est : X 1 π = 2 n 6 n=1 La constante d'Euler Théorème 2.8 Z ln(t)dt 0 ou : γ = lim + + . + 2 n Une valeur approchée : γ Cette constante est très mysterieuse car on ne connait pas grand chose sur elle. On ignore encore aujourd'hui si ce nombre est irrationnel. On la nomme aussi constante d'Euler-Mascheroni, car Mascheroni fût le premier à découvrir les 32 premières décimales de γ et l'a rendue ainsi célèbre. [...]

[...] On s'aperçoit bien qu'il existe un cercle passant par N et O Conclusion Comme nous avons pu le constater, nous avons utilisé beaucoup de notions et beaucoup de formules d'Euler durant notre scolarité que se soit au niveau de la théorie des nombres, au niveau de la géométrie, de l'algèbre et de l'analyse. Euler a également beaucoup travaillé dans l'astronomie (étude des orbites des planètes, trajectoire des comètes, mouvement de la lune) mais également dans la physique (dans l'optique, l'hydraulique, l'acoustique . [...]

[...] Méthode d'Euler Soit f une fonction dérivable sur un intervalle. Cette fonction n'est pas forcément connue. On a juste besoin de ces informations : f (x0 ) = y0 ainsi que la dérivée de cette fonction On fixe un pas appellé h et on place sur le graphe M0 (x0 ; y0 Puis on pose x1 = x0 + on calcule f (x0 + f (x0 ) + h f 0 (x0 ) et on place M1 (x1 ; y1 ) avec y1 f (x0 ) + h f 0 (x0 ) Enfin, on pose x2 = x1 + h et ainsi de suite . [...]