Isométries vectorielles et matrices orthogonales

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Isométries vectorielles, matrices orthogonales, groupe spécial orthogonal, plan euclidien, base orthonormale, formules mathématiques, automorphisme orthogonal

Résumé du document

Ce cours de mathématiques s'intéresse aux isométries vectorielles ainsi qu'aux matrices orthogonales, et en définit les contours grâce à diverses formules mathématiques, théorèmes et propriétés. Ainsi par exemple la définition suivante des isométries vectorielles : "soit F un sous espace vectoriel de E. La symétrie orthogonale par rapport à F est la symétrie par rapport à F parallèlement à F. Si F est un hyperplan de E, on dit que la symétrie orthogonale par rapport à F est une réflexion. Toute symétrie orthogonale est une isométrie vectorielle".

Extraits

[...] C'est le groupe spécial orthogonal. Propriété : est un sous-groupe de . IV. Classification des isométries d'un plan euclidien Théorème : Soit . Alors : Soit tel que . Soit tel que . Théorème : est commutatif. Théorème : Soit un plan euclidien orienté. Soit . Alors : Si est positive, est indépendante du choix de la base orthonormée directe et il existe (unique à près) tel que, pour bord Si est négative, est une réflexion. Notation : Dans le 1er cas, on dit que est la rotation d'angle de mesure . [...]

[...] Isométries vectorielles, matrices orthogonales I. Isométries vectorielles Définition : Soit un espace euclidien et . On dit que est une isométrie vectorielle si : . L'ensemble des isométries vectorielles de est noté . Proposition : Soit . Alors : est une isométrie vectorielle . Notation : Si est une isométrie vectorielle, on dit que est un automorphisme orthogonal. Définition : Soit un sous espace vectoriel de . La symétrie orthogonale par rapport à est la symétrie par rapport à parallèlement à . [...]