Isométries vectorielles

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Cours de maths niveau prépa - Isométries vectorielles

Extraits

[...] On considère un vecteur normé quelconque a de E. Exprimer en fonction de l'angle ( entre n et a , l'angle formé par a et son image Solutions des exercices sur les Isométries Soit B e e3) base orthonormée directe de E et f et g les endomorphismes de E représentés dans B par les matrices respectives A et B. On vérifie facilement que les matrices données sont orthogonales, soit en montrant que leurs colonnes sont normées et orthogonales deux à deux pour la structure Euclidienne canonique de R3, soit en vérifiant globalement que les produit tA.A et tB.B donnent I3. [...]

[...] L'application f est alors une rotation de dont l'axe est orthogonal à P. Réciproquement, toute rotation de ce type laisse bien le plan P orthogonal à l'axe globalement invariant. _ Si u est une symétrie orthogonale d'axe dirigé par le vecteur a. L'ensemble des vecteurs invariants pour f est alors le plan Q de base et l'isométrie f est par conséquence la symétrie orthogonale par rapport à ce plan. Réciproquement, toute réflexion par rapport à un tel plan Q contenant l'orthogonal de P laisse bien P globalement invariant. [...]

[...] Démonstration. ( Utilisons l'identité de polarisation : ( ( E(E et On suppose ici que u est une isométrie donc est linéaire et conserve la norme. On en déduit : et de même Ainsi on a bien : ( ( E(E , x.y=u(x).u(y) ( Soit B en) une base orthonormée de E. Par hypothèse on peut alors écrire pour tout couple d'indice de { : u(ei).u(ej)=ei.ej= 0 si i et 1 si i=j. Le système est donc un système orthonormé de n vecteurs de donc une base orthonormée de cet espace. [...]

[...] E est un espace Euclidien rapporté à une base orthonormée directe B Déterminer les matrices dans B des transformations orthogonales suivantes : Symétrie orthogonale par rapport au plan P d'équation x+2y+3z=0 dans B . Rotation d'axe orienté par u+v et d'angle . Symétrie orthogonale par rapport à la droite dirigée par u+v+w Soit e2, e3) une base orthonormée directe de l'espace Euclidien E. On note f l'endomorphisme de E tel que : Montrer que f est une isométrie et préciser ses éléments caractéristiques. Soit P le plan de E d'équation x+y+2z=0 dans B . Déterminer l'image puis la matrice dans B de la symétrie orthogonale S par rapport à P. [...]

[...] On en déduit donc que l'ensemble des isométries vectorielles de l'espace E constitue un sous-groupe du groupe GLR(E).des bijections linéaires de E pour la loi composition . On l'appellera ‘groupe orthogonal de E' et il sera noté classiquement O(E). Vu la caractérisation matricielle des isométries vectorielles, ce groupe est naturellement isomorphe à l'ensemble On(R) des matrices carrées d'ordre n=dim(E) muni de la loi produit des matrices, et ceci grâce à la correspondance ( défini par : u ( =Mat(u, B ) , B désignant une base orthonormée arbitraire de E. [...]