Invariants d'une algèbre centrale simple à involution

Résumé du document

Le présent travail a pour but de présenter quelques invariants d'une algèbre centrale simple de dimension finie à involution.

Extraits

[...] Les invariants d'une alg`ebre centrale simple involution On peut identifier A avec Mn ) pour un choix d'une base e de V . Soit g Gln ) la matrice de la forme bilin´eaire b dans la base e. On a : σb = int(g ) avec t l'involution transposition. Or, t est orthogonale et σb = int(g ) t l'est aussi, car b est sym´etrique. Ainsi, en appliquant on trouve : disc σb = N rdA ).disc t = detb Si a , alors a 1 σ τ . [...]

[...] Les invariants d'une alg`ebre centrale simple involution 34 h0 = gh entraˆıne que σ(g) = g F D'o` u l'injectivit´e de la correspondance h σh dans les deux cas et 2). Montrons maintenant que h σh est surjective Supposons que σ est de premi`ere esp`ece, et soient γ une involution de premi`ere esp`ece sur A et (ei une base de V. D´esignons par h l'application d´efinie sur V V par : = X i σ(αi )βi avec x = X ei αi et y = X i ei βi i Il est facile de v´erifier que h est une forme hermitienne. [...]

[...] Proposition Si A est une F-alg`ebre centrale simple et σ une F/F0 -involution de deuxi`eme esp`ece sur alors : dimF0 = n Preuve : Conservons les notations du lemme pr´ec´edent, et soit η = . δ On a F/F0 est une extension galoisienne de groupe de Galois G = σ/F ainsi : δ+1 = 1. Donc d'apr`es le th´eor`eme 90 de Hilbert, il existe θ F NF/F0 = σ(η)η = σ δ+1 δ δ tq η = θσ(θ)− Si σ(x) = x alors σ(σ(θ)x) = θx = θ σ(θ)x σ(θ) = η.σ(θ)x. [...]

[...] efinition La valeur commune du rang de tous les id´eaux droite de σh ) totalement isotropes maximaux, est appel´e indice de Witt de l'alg`ebre centrale simple involution σh ) Discriminant d'une involution Discriminant d'une involution orthogonale Proposition Soit A une F -alg`ebre centrale simple involution σ symplectique. Le polynˆ ome caract´eristique r´eduit de chaque ´el´ement de est un carr´e dans F[X]. En particulier, N rdA est un carr´e dans F quel que soit s . Preuve : Voir proposition page 19]). Si A est une F -alg`ebre centrale simple de degr´e pair involution σ de premi`ere esp`ece, alors tel que σ(a) = (voir corollary page 18]). Proposition Soit A une F -alg`ebre centrale simple de degr´e pair involution σ orthogonale. [...]

[...] Involution d'une alg`ebre centrale simple efinition L'unique ´el´ement g A A tel que Sand(g) = T rdA est appel´e ´el´ement de Goldman de A A. Proposition L'´el´ement de Goldman g A A v´erifie les propri´et´es suivantes : 1. g 2 = g.(a = a).g b A 3. Si A = EndF alors sous l'identification canonique A A = EndF V g est d´efini par : g(v1 v2 ) = v2 v1 v2 V . Preuve : Montrons Pour cela, on va utiliser l'isomorphisme canonique EndF ) = V V . [...]