Invariants d'une algèbre centrale simple à involution

Jamal N.

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Le présent travail a pour but de présenter quelques invariants d'une algèbre centrale simple de dimension finie à involution.

Sommaire

Introduction

I) Rappel sur les algèbres centrales simples

A. Définitions et exemples
B. Théorème de Wedderburn
C. Groupe de Brauer
D. Algèbre conjuguée - Norme d'une algèbre

II) Involution d'une algèbre centrale simple

A. Involutions et formes bilinéaires
B. Types d'involutions sur une algèbre centrale simple
C. Existence d'involutions de première espèce
D. Existence d'involutions de deuxième espèce
E. Algèbres à involution sur un corps de caractéristique deux

III) Les invariants d'une algèbre centrale simple à involution

A. Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution
1. Involutions et formes hermitiennes
2. Idéaux d'une algèbre centrale simple
3. Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution
B. Discriminant d'une involution
1. Discriminant d'une involution orthogonale
2. Application : algèbre à involution décomposable
C. Algèbre de Clifford d'une involution
1. Algèbre de Clifford d'un espace quadratique
2. Algèbre de Clifford d'une involution orthogonale
3. Application : caractérisation des involutions conjuguées
D. Signature d'une involution
1. La forme trace d'une involution
2. La signature d'une involution de première espèce
3. Application : involutions indécomposables

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Extraits

[...] Les invariants d'une alg`ebre centrale simple involution On peut identifier A avec Mn ) pour un choix d'une base e de V . Soit g Gln ) la matrice de la forme bilin´eaire b dans la base e. On a : σb = int(g ) avec t l'involution transposition. Or, t est orthogonale et σb = int(g ) t l'est aussi, car b est sym´etrique. Ainsi, en appliquant on trouve : disc σb = N rdA ).disc t = detb Si a , alors a 1 σ τ . [...]

[...] Les invariants d'une alg`ebre centrale simple involution 34 h0 = gh entraˆıne que σ(g) = g F D'o` u l'injectivit´e de la correspondance h σh dans les deux cas et 2). Montrons maintenant que h σh est surjective Supposons que σ est de premi`ere esp`ece, et soient γ une involution de premi`ere esp`ece sur A et (ei une base de V. D´esignons par h l'application d´efinie sur V V par : = X i σ(αi )βi avec x = X ei αi et y = X i ei βi i Il est facile de v´erifier que h est une forme hermitienne. [...]

[...] Proposition Si A est une F-alg`ebre centrale simple et σ une F/F0 -involution de deuxi`eme esp`ece sur alors : dimF0 = n Preuve : Conservons les notations du lemme pr´ec´edent, et soit η = . δ On a F/F0 est une extension galoisienne de groupe de Galois G = σ/F ainsi : δ+1 = 1. Donc d'apr`es le th´eor`eme 90 de Hilbert, il existe θ F NF/F0 = σ(η)η = σ δ+1 δ δ tq η = θσ(θ)− Si σ(x) = x alors σ(σ(θ)x) = θx = θ σ(θ)x σ(θ) = η.σ(θ)x. [...]

[...] efinition La valeur commune du rang de tous les id´eaux droite de σh ) totalement isotropes maximaux, est appel´e indice de Witt de l'alg`ebre centrale simple involution σh ) Discriminant d'une involution Discriminant d'une involution orthogonale Proposition Soit A une F -alg`ebre centrale simple involution σ symplectique. Le polynˆ ome caract´eristique r´eduit de chaque ´el´ement de est un carr´e dans F[X]. En particulier, N rdA est un carr´e dans F quel que soit s . Preuve : Voir proposition page 19]). Si A est une F -alg`ebre centrale simple de degr´e pair involution σ de premi`ere esp`ece, alors tel que σ(a) = (voir corollary page 18]). Proposition Soit A une F -alg`ebre centrale simple de degr´e pair involution σ orthogonale. [...]

[...] Involution d'une alg`ebre centrale simple efinition L'unique ´el´ement g A A tel que Sand(g) = T rdA est appel´e ´el´ement de Goldman de A A. Proposition L'´el´ement de Goldman g A A v´erifie les propri´et´es suivantes : 1. g 2 = g.(a = a).g b A 3. Si A = EndF alors sous l'identification canonique A A = EndF V g est d´efini par : g(v1 v2 ) = v2 v1 v2 V . Preuve : Montrons Pour cela, on va utiliser l'isomorphisme canonique EndF ) = V V . [...]

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