Introduction aux suites numériques en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Introduction aux suites numériques, formules mathématiques, suites réelles, théorème de Bolzano, suites complexes, suites récurrentes, suites adjacentes, théorème d'encadrement

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques s'intéressant aux suites numériques. Diverses définitions, du vocabulaire ainsi que des propriétés sont apportées, principalement sous la forme de formules mathématiques. Différents théorèmes sont présentés pour étayer cette démonstration, tel que le théorème de Bolzano. Ainsi, concernant les limites fixes d'une suite, quelle que soit la précision imposée, à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont proches de la limite à cette précision.

Extraits

[...] Manipulation de limites A. Opération sur les limites Soit . Somme : Soit . n'existe pas B. Limite monotone Théorème : Si est une suite monotone, alors existe dans . Si est croissante et majorée Si est croissante et non majorée Si est décroissante et minorée Si est décroissante et non minorée C. Suites adjacentes Définition : On dit que deux suites et sont adjacentes si : est croissante. est décroissante. . Théorème : Si et sont adjacentes, alors : elles convergent vers une même limite . [...]

[...] Suites numériques I. Généralités A. Définition Définition : On appelle suite réelle toute famille d'éléments de indexée pour , ou de manière équivalente, toute application de dans . Une suite est donc un élément de se note en général . B. Vocabulaire Définition : On dit que est constante si : . Définition : est majorée si est majorée . est minorée si est minorée . est positive si elle est minorée par . est négative si elle est majorée par . [...]

[...] Théorème (pour exprimer le terme général dans : Soit . Si , avec , les deux racines du polynôme caractéristique. Si , avec la racine du polynôme. Si , avec et les racines du polynôme caractéristique. B. Récurrences d'ordre un Définition : Soit , et . On dit que est stable par si . C‘est à dire que si . Théorème : Soit , et stable par . On a : Quel que soit , il existe une unique suite telle que : . est à valeurs dans . [...]

[...] Si est croissante sur , alors est monotone. Si est décroissant sur , alors et sont monotones de sens contraire. Théorème : Sous les mêmes hypothèses, si et si est continue en , alors . VII. Suites complexes Définition : Une suite complexe est une application de dans , ou une famille de nombres complexes indexés par . Définition : est bornée si : . Définition : Soit , soit . On dit que si et seulement si : . [...]

[...] La suite est géométrique de raison . On en déduit . II. Limite d'une suite A. Limite fixe Définition : Soit , et . On dit que converge vers , et on note , lorsque : . Traduction : Quelle que soit la précision imposée, à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont proches de la limite à cette précision. Théorème : Soit et . Si , tend vers , alors est unique. Définition : Une suite , est dite convergente s'il existe tel que : . [...]