Introduction au principe de dérivabilité en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Introduction au principe de dérivabilité en mathématiques, formules mathématiques, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, extrema, dérivées successives

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques concernant le principe de dérivabilité. Divers définitions et théorèmes sont présentées, ainsi par exemple le théorème suivant : "Si f est dérivable en a, alors f est continue en a (la réciproque fausse)", complété par la propriété suivante : "si f est dérivable à gauche (respectivement à droite) en a, alors elle est continue à gauche (respectivement à droite) en a". Par ailleurs, une fonction même continue peut n'être dérivable ni à gauche, ni à droite en un point. D'autres théorèmes sont présentés, ainsi celui de Rolle ou encore des accroissements finis.

Extraits

[...] On suppose et dérivables en . est dérivable en , et . est dérivable en , et . Si est non nulle en , est dérivable en et . Si est à valeurs dans , si est dérivable en . Alors est dérivable en et . Théorème : Soit bijective, dérivable de sur . On suppose que ne s'annule pas en . Alors est dérivable sur , et . Définition (dérivées successives) : Soit . On pose . Si on a défini, pour , est dérivable, on pose . [...]

[...] Remarque : Ce théorème donne un plan d'étude des extrema d'une fonction. B. Théorème de Rolle et des accroissements finis Théorème Rolle : Soit . On suppose continue sur , dérivable sur et . Alors il existe tel que . Théorème des accroissements finies : Soit continue sur , dérivable sur . Alors il existe tel que : . Remarque : Rolle et le TAF sont faux si . C. Variations Théorème : Soit un intervalle et . Alors est constante . [...]

[...] On dit que est dérivable en . Si existe et est finie. Dans ce cas, cette limite est notée . On l'appelle le nombre dérivé de en . On dit que est dérivable sur si est dérivable en tout point de . Dans ce cas, on note qu'on appelle la dérivée. On note , l'ensemble des fonctions dérivables sur . Remarque : Si on convient de noter la variable de , on peut aussi noter . Définition : Si est dérivable en , on note la tangente de f en a. [...]

[...] Limite de la dérivée, prolongement Théorème (de la limite de la dérivée) : Soit . On suppose que : f est dérivable sur ; b[. f est continue en a. existe dans . Alors : existe et vaut . Notamment : Si , alors est dérivable en , et donc est continue en a. Théorème (prolongement de classe ) : Soit et . On suppose de classe sur et : existe dans . Alors : le prolongement continu à est de classe sur . [...]