Introduction aux nombres complexes en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Introduction aux nombres complexes, notions mathématiques, écriture algébrique, plan complexe, exponentielle complexe, forme trigonométrique, nombres complexes et géométrie

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques concernant les nombres complexes. Il s'attache à présenter l'écriture algébrique, le plan complexe, le module et les conjugués, via des définitions, l'exposition de propriétés, et des exemples. Divers théorèmes sont cités tels que celui des inégalités triangulaires, ou d'Alembert-Gauss. Le document traite également des exponentielles, des fonctions, de la géométrie et des formes trigonométriques. Des formules mathématiques sont principalement employées pour étayer toutes ces notions.

Extraits

[...] Nombres complexes et géométrie Quelques transformations du plan complexe : ⇨ Translation somme de deux complexes. ⇨ Rotation agrandissement produit de deux nombres complexes. Propriété : Soit et . Si : alors est la translation de valeur . Si : cherchons un point fixe , tel que . On trouve que . Définition : on dit que est la composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre dans un ordre quelconque. Propriétés : Soit des complexes et des points du plan tels que . On suppose Alors : . . [...]

[...] Les nombres complexes I. Le corps des nombres complexes A. Ecriture algébrique Définition : On admet l'existence de qui vérifient les propriétés suivantes : ⇨ contient . ⇨ est muni de deux opérations et qui prolongent celles de , c'est-à-dire : est interne . est commutative . est associative . est un élément neutre pour . Tout élément a un opposé . est interne, commutative, associative, est un élément neutre pour la multiplication. Tout complexe non nul admet un inverse . [...]

[...] Dérivation des fonctions complexes Soit , soit . Définition : On a : . Définition : Soit . est derivable en a si et seulement si et le sont. Dans ce cas Si est dérivable en tout point de . On dit qu'elle est dérivable sur , et on note l'ensemble de ces fonctions. Théorème : Soit . Si est un intervalle, est constante sur si et seulement si est nulle sur . II. L'exponentielle A. Le groupe Définition : (cercle trigonométrique). [...]

[...] On les appelle les racines carrées de . Remarque : Dans le cas où , ces racines sont et . Mais en général, on ne peut pas choisir, donc il est interdit d'écrire . Théorème : Soit Les solutions de l'équation sont et , ou est une racine carrée quelconque de . De plus, la somme des racines vaut , et leur produit vaut . Théorème (Alembert-Gauss) : Soit un polynôme à coefficients complexes, non constant. Alors, admet au moins une racine E. [...]