Introduction aux méthodes numériques dans la résolution d'équations différentielles ordinaires : modèle LotkaVolterra

Thèmes abordés

Méthodes, numérique, résolution, d'équation, modèle, LotkaVolterra

Résumé du document

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'un système biologique composé de deux espèces : des proies (sardines) et des prédateurs (requins). L'effectif des proies au cours du temps est note x (t) et celui des prédateurs est note y(t). Dans le modèle, les prédateurs se nourrissent exclusivement des proies.

Extraits

[...] Dans le modèle, les prédateurs se nourrissent exclusivement des proies. Le modèle proposé fait également les hypothèses suivantes : Les proies sont supposées avoir une source illimitée de nourriture et se reproduire exponentiellement si elles ne sont soumises à aucune prédation. On aura donc un terme ax(t) représentant cette croissance exponentielle dans l'équation des proies. Le taux de prédation sur les proies est supposé proportionnel à la fréquence de rencontre entre les prédateurs et les proies. On aura donc un terme dans l'équation des proies qui représentera ce taux. [...]

[...] Cependant, pour cette méthode, nous n'avons la solution que pour un modèle sans prédation, c'est donc dans ces conditions que nous allons tester nos différentes méthodes. Erreur Somme: La première fonction que nous avons créée pour tester l'efficacité de nos méthodes est intitulée erreur somme Pour chaque point, elle calcule l'erreur c'est à dire la différence entre la valeur obtenue avec la méthode testée et la valeur obtenue avec la méthode analytique au même point dans les mêmes conditions et elle renvoie la somme de ces erreurs. [...]

[...] Cependant on admettra que ce résultat est vrai, et pas seulement autour de II Les différentes méthodes utilisées. Présentation des méthodes. Afin de pouvoir schématiser numériquement et résoudre les équations de Lotka­Volterra, nous avons utilisé quatre méthodes différentes: la résolution analytique, la méthode d'Euler, la méthode du trapèze,ainsi que la méthode de Runge Kutta. Méthode Analytique: La méthode analytique est la méthode explicite que nous avons vu en cours d'équations différentielles ordinaires. Elle nous permet de résoudre des systèmes d'équations différentielles de façon exacte. [...]

[...] On trouve deux points d'équilibre pour t le système : Étude de l'équilibre Si on note , on peut dire que f est différentiable en On calcule donc la différentielle en ce point : . On remarque qu'une des valeurs propres est à partie réelle strictement positive : a. Donc d'après les théorèmes de caractérisation des équilibres, on peut dire que l'équilibre est instable. Étude de l'équilibre De la même façon, on calcule la différentielle à cet équilibre : . Les deux valeurs propres sont donc toutes les deux imaginaires pures. On ne peut i donc pas linéariser. [...]

[...] On peut donc dire qu'en augment le coefficient de prédation sur les proies, ce sont les prédateurs qui en souffrent. On observe également un fort retard des courbes. Evolution de l'effectif des proies Evolution de l'effectif des prédateurs 10 Influence du taux de mortalité des prédateurs Pour observer l'influence du taux de mortalité des prédateurs, on multiplie le coefficient c par 2. On observe que les deux courbes gardent la même allure mais leurs amplitudes augmentent. On peut interpréter cette remarque comme suit : il est normal de voir qu'avec un taux de mortalité des prédateurs plus fort le nombre de sardines augmentent car elles sont moins chassées. [...]