Introduction au langage mathématique - exercices commentés

Résumé du document

Ce document évoque les éléments indispensables pour faire des mathématiques. Extrait: "Il est hors de question ici de faire un cours de logique ou de théorie des ensembles, mais seulement de donner des éléments indispensables pour faire des mathématiques. Ce paragraphe, un peu particulier, fait partie de la culture générale du mathématicien ou plus généralement de l'utilisateur des mathématiques. On pourra s'y référer par la suite, chaque fois que le besoin s'en fera sentir. Qui veut faire des mathématiques se doit de bien connaître l'alphabet grec que nous reproduisons ci-dessous en indiquant en gras les lettres les plus utilisées. Et ne vous inquiétez pas, vous en connaissez certaines depuis votre plus tendre enfance, comme par exemple la lettre pi !"

"On pensera à réviser sa grammaire française et les règles courantes d'orthographe. Leur connaissance est une condition nécessaire pour bien se comprendre. On note BD l'ensemble suivant : {Astérix, Bianca Castafiore, Idéfix, Lucky Luke, Milou, Tintin}. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
P1 : il y a un chien dans BD (réponse : vraie car par exemple, Milou est un chien)
P2 : il existe au plus un chien dans BD (réponse : fausse, car Idéfix et Milou sont deux chiens de BD)
P3 : il existe au moins un chien dans BD (réponse : vraie puisqu'il y en a exactement deux)
P4 : il existe un unique chien dans BD (réponse : fausse puisqu'il y en a exactement deux).

Ainsi, il ne faut pas confondre l'article défini (le, la, les) et l'article indéfini (un, une, des) : « un… » n'exige pas l'unicité (un signifie au moins un...), « la…, le… » supposent l'existence et l'unicité démontrées (Bianca Castafiore est la femme de BD, « il existe au plus un élément… » (1 ou 0) n'implique pas l'existence de cet élément, « il existe au moins un élément… » (1 ou plusieurs) affirme l'existence de cet élément sans entraîner son unicité, (il existe au moins un chien dans BD), « il existe un élément exactement… », « il existe un unique élément… » signifie l'existence et l'unicité."

"Exercice. Quelles sont les tables de vérité de la proposition non(P et Q), puis de (nonP ou nonQ) ? Que constate-t-on ? Comparer alors la table de non(P ou Q) avec celle de (nonP et nonQ). On en déduit la propriété qui suit.
Propriétés. La proposition non(P et Q) a même table de vérité que ((nonP) ou (nonQ)). La proposition non(P ou Q) a même table de vérité que ((nonP) et (nonQ)).

Exercice. Vérifier sur des exemples en français les propriétés ci-dessus. Par exemple, la négation de la contrepèterie belge « il fait beau et chaud » est : « il ne fait pas beau ou il ne fait pas chaud » (prendre pour P et Q respectivement les propositions « il fait beau » et « il fait chaud »). La négation de « je vais m'acheter une paire de chaussures noires à pois blancs ou blanches à pois noirs » est : « je ne vais pas m'acheter de chaussures noires à pois blancs ni de chaussures blanches à pois noirs » (prendre pour P et Q respectivement les propositions « je vais m'acheter une paire de chaussures noires à pois blancs » et « je vais m'acheter une paire de chaussures blanches à pois noirs »)."

Extraits

[...] Par hypothèse de récurrence, on sait que un = On en déduit que : un = n(n + n(n + + + . + n + La propriété ( Pn ) est donc vérifiée. iv) Étant héréditaire et vraie au rang initial, la propriété ( Pn ) est vraie pour tout entier naturel non nul n Le raisonnement se fait donc en quatre étapes. ii) iii) iv) Énoncé de la propriété à démontrer par récurrence. Initialisation : on montre que la propriété est vraie au rang initial. Hérédité : ( Pn ) vraie entraîne ( Pn ) vraie. [...]

[...] b , a # b $ b 1 & * * $ , non' # b , a $ b % b 1 % * * # , , non& a # b $ b * * , , a # b et ) Soit H la proposition ( x 2 = 2 et x ) , et soit C la proposition ( x ) . + Le problème revient à montrer que la proposition ! est vraie. Procédons par l'absurde. [...]

[...] f Au lieu de (le mathématicien est plutôt du genre à s'économiser . ) : Une application f ! R est dite paire si pour tout réel f = f . Une application f ! R est dite impaire si pour tout réel f = ! f . Ne pas confondre cause et conséquence. Le jardin est mouillé parce qu'il pleut il pleut est la cause, le jardin est mouillé est la conséquence. Le jardin est mouillé donc il pleut le jardin est mouillé est cette fois la cause qui permet de déduire qu'il pleut (conséquence). [...]

[...] Pour pouvoir conclure que C1 = C il faut que les bouquets A et B aient au moins une fleur en commun, ce qui suppose n + c'est-à-dire n ! Il faudrait pouvoir initialiser le résultat au rang rang auquel la propriété est évidemment fausse Condition nécessaire, condition suffisante. Démonstration par analyse-synthèse Condition nécessaire, condition suffisante Définitions. On dit que P est une condition nécessaire pour que Q soit vraie si P est vraie dès que Q est vraie ( Q ! P On dit que P est une condition suffisante pour que Q soit vraie si Q est vraie dès que P est vraie ( P ! [...]

[...] + k p en posant p = n - k dans la somme (ainsi, lorsque l'entier k décrit { , l'entier p décrit aussi { On en déduit (attention, les indices de sommation sont des lettres muettes) : n n n n 2un = ! k + ! + = ! + n + = ! + = n(n + , d'où un = k k k k n(n + L'utilisation d'un contre-exemple (ou de la négation) Exemple. La proposition suivante est-elle vraie : si a et b sont deux nombres réels non nuls vérifiant a ! b , alors ! ? b a Réponse. La proposition est fausse. En effet, posons a = et b = 1. [...]