Introduction à l'intégrale de Lebesgue

Résumé du document

Fiche de première approche de l'intégrale de Lebesgue



Construite dans le cas de fonctions numériques, l'intégrale de Lebesgue se situe aujourd'hui dans le cadre de fonctions définies dans un espace topologique localement compact (tout point admet un voisinage compact) à valeurs dans un espace vectoriel réel.





Une mesure pour les fonctions numériques continues à support compact :

Espaces £p et Lp (espaces de Lebesgue) :

Extraits

[...] est un espace vectoriel et peut être muni de la semi-norme : p n'est pas une norme puisque, comme vu ci-dessus une fonction non nulle peut être d'intégrale nulle. Pour cette raison, on définit dans l'espace p la relation f ~ g f = g presque partout. C'est une L'ensemble des fonctions μ-négligeables est un sous-espace vectoriel N de p. Riesz, qui fut à l'origine de l'étude de ces espaces dans le cadre des conditions de convergence des séries de Fourier, prouva que l'ensemble quotient 2/N des classes d'équivalence, noté L2, espace des (classes de) fonctions mesurables de carré intégrable, est complet. [...]

[...] Cette limite est l'intégrale, au sens de Lebesgue, de la fonction f. On la note encore μ(f) ou, plus concrètement, f dμ. Une fonction f de signe quelconque sera dite intégrable si et seulement si f est mesurable et f intégrable. Sur l'intervalle d'intégration Riemann subdivise J (à droite)alors que Lebesgue (à gauche) subdivise f(J). On peut dire que l'intégrale de Lebesgue est à l'intégrale de Riemann, ce que l'ensemble R des nombres réels est à l'ensemble Q des nombres rationnels : l'ensemble des fonctions intégrables au sens de Lebesgue peut s'obtenir, en quelque sorte, comme complétion des fonctions intégrables au sens de Riemann. [...]

[...] Le nombre μ(f) correspond à l'intégrale "usuelle" (intégrale de Riemann) et, dans ce cas particulier de fonctions, c'est aussi la mesure de Borel-Stieltjes. La fonction f étant continue, on peut lui appliquer le théorème de la moyenne sur : et, en notant M le maximum de f sur on a μ(f) M(b - : ce qui assure la continuité de μ. Mesure de Lebesgue d'un sous-ensemble borné de R : Notons 1A la fonction caractéristique d'un partie bornée A de définie comme valant 1 si x est élément de A sinon. [...]

[...] L'intégrale d'une fonction est ainsi une mesure de cette fonction. Parler de fonction intégrable, dans le cadre généralisé de Lebesgue, c'est parler de fonction mesurable dans un sens précis que ce dernier développe dans sa nouvelle théorie de l'intégration. Le cas général, faisant intervenir la théorie de la mesure, dépasse largement le cadre de cette chronologie. L'intégrale de Lebesgue, demande donc une longue introduction et apparaît très abstraite. On peut cependant tenter d'en donner une définition de la façon suivante en précisant quelques éléments de vocabulaire : Soit f : X R une fonction numérique où X désigne un espace topologique; on appelle support d'une fonction l'adhérence des éléments x de X tels que à savoir le plus petit ensemble fermé S tel que = 0 pour tout x de X \ S privé de S). [...]

[...] Toute fonction intégrable au sens de Riemann l'est aussi au sens de Lebesgue (et les deux intégrales sont alors égales) mais la réciproque est fausse : un exemple particulièrement éloquent est la fonction de Dirichlet, fonction caractéristique de Q dans R : comme dit ci-dessus, Q est μ−négligeable, donc μ(1Q) = 1Q = 0 : l'intégrale de Lebesgue sur un intervalle de la fonction 1Q est donc nulle. Si, dans les sommes de Riemann Sn = Σ(xi+1 - xi)f(ci), on choisit ci rationnel (loisible puisque Q est dense dans l'intégrale de Riemann sur serait alors Σ(xi+1 - xi) = b - a puisque les ci valent 1. Et si, on choisit les ci réels, les sommes de Riemann sont nulles et l'intégrale de Riemann serait nulle. Ce qui prouve que 1Q n'est pas intégrable au sens de Riemann. [...]