Fiche de synthèse : introduction aux probabilités

Résumé du document

La probabilité est une mesure comprise entre 0 et 1 de la vraisemblance d'un évènement
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La notion de probabilité est associée à celle d'expérience. Une expérience est un processus qui génère un ensemble de résultats prédéfinis.

Lorsque les résultats possibles de l'expérience sont équiprobables, il faut calculer le nombre de résultats favorables et le rapporter au nombre de résultats possibles de l'expérience (...)

Extraits

[...] Fiche de Synthèse : Statistiques Chapitre 1 : Introduction aux probabilités ( La probabilité est une mesure comprise entre 0 et 1 de la vraisemblance d'un évènement ( La notion de probabilité est associée à celle d'expérience. Une expérience est un processus qui génère un ensemble de résultats prédéfinis. ( Lorsque les résultats possibles de l'expérience sont équiprobables, il faut calculer le nombre de résultats favorables et le rapporter au nombre de résultats possibles de l'expérience ( L'analyse combinatoire a pour but de dénombrer des différentes dispositions (ordonnées ou pas) que l'on peut former à partir d'un ensemble d'éléments et est utilisée pour le calcul de probabilités sur un espace fondamental composé d'évènements élémentaires équiprobables. [...]

[...] + Pn = 1 avec pi = proba de l'évènement élémentaire ei ( Les évènements équiprobables sont des évènements ayant la même probabilité. Ex : P faire un 1 ou un 2 ou un 3 = P faire un pair = Ex : jeu de dé, p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = Ex : si test (défectueux ou non), p1 = p2 = Rem importantes : ( La probabilité attachée à chaque résultat possible doit être comprise entre 0 et 1 ( La somme des probabilités pour tous les résultats possibles doit être égale à 1 Raisonnement en termes d'ensembles Plusieurs cas : A est une partie de E : A E ( Ex : Faire un 2 ( A = C est appelé l'évènement A ou B : c'est la réunion de A et de B ( C = A B ( Ex : Faire un 2 ou un 6 ( C = , C = C correspond à la réalisation simultanée de A et B : c'est l'intersection de A et de B ( C = A B ( Ex : A : Faire un chiffre pair et B : faire un 1 ou un 2 A et B sont 2 évènements contraires : A et B sont complémentaires ( A + Ac = E ( Ex : A : Faire un 1 et B : Faire autre chose que 1 A et B sont incompatibles : A et B sont disjoints ( A B = ( Ex : A : Faire un 1 et B : Faire un 6 A implique B (et non l'inverse : A est inclus dans B ( A B ( Ex : A : «Faire un 1 ou un 2 et B : Faire un 2 L'évènement A est impossible : A est vide ( A = ( Ex : A : Faire un 0 L'évènement A est certain : A est égal à E ( A = E ( Ex : A : Faire l'un des chiffres suivants en lançant un dé Propriétés immédiates des probabilités La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des évènements élémentaires qui constituent cet évènement Ex (lancé de dé) : Si A : Obtenir un 2 ou un 3 = alors = + Si n évènements sont incompatibles 2 à 2 alors : P(A1 A2 An) = P + P + . [...]

[...] On peut écrire que : = P(B A1) + P A2) + . + P(B An) Et donc = P (A1).P(B A1) + P(A2).P(B A2) + . + P(An).P(B An) ( Par définition des proba conditionnelles, on pourra écrire : = P(A).P(B/A) + P(Ac).P(B/Ac) P(B + P(B Ac) Résumé de calcul des probabilités 3 règles à retenir : P(A = + P(A P(A = + lorsque A et B sont incompatibles (mutuellement exlusifs) ( Ex : A : Etre à Marseille et B : Avoir 10 ou moins à l'examen + P(Ac) = 1 puisque A et Ac sont mutuellement exclusifs ( Ex : A : Faire un 1 et Ac : Faire autre chose qu'un 1 = P(e1) + P(e2) puisque 2 évènements élémentaires sont mutuellement exclusifs ( Ex : Probabilité de faire un 2 ou un 6 = P(faire un + P(faire un P(A1 A2 An) = P(A1) + P(A2) + . [...]

[...] L'arbre ( L'arbre permet de faciliter la détermination des probabilités d'une expérience à plusieurs étapes. ( Une expérience peut être décrite comme une séquence de k étapes avec n1 résultats possibles à la séquence n2 résultats possibles à la séquence et donc le nombre total de résultats possibles de l'expérience sera égal à : n1 x n2 x . x nk Les permutations ( Def : Une permutation de n éléments est une disposition ordonnée de l'ensemble de ces n éléments, chacun de ceux-ci figurant une fois et une seule : Pn = nombre de permutations possibles avec n éléments = n ! [...]

[...] On note : E = e en} Ex : on jette un dé : E = ( Evènement Partie de l'univers des possibles, autrement dit un ensemble d'évènements élémentaires Ex : soit l'évènement A : Faire un 2 ou un 3 ( A = ( Evènement complémentaire ou contraire (rappel Ex : Si A : Faire un 2 ou un 3 Ac sera : ne faire ni un ni un 3 et Ac = ( On parle d'univers probabilisé dés lors qu'à chaque évènement élémentaire e1 est associé une probabilité pi Par construction avec n évènements élémentaires, on a : P1 + P2 + . [...]