Introduction à l'arithmétique des entiers en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Introduction à l'arithmétique des entiers, formules mathématiques, division euclidienne, congruences, plus grand commun diviseur, multiples communs, nombres premiers

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques concernant l'arithmétique des entiers, principalement sous la forme de formules mathématiques. Il propose des généralités ainsi que des définitions, des théorèmes et des propriétés sur ces notions. Ainsi un exemple de définitions : "soit (a,b) appartient à la classe Z². On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, ou que b est multiple de a, ou que b est divisible par a, lorsqu'il existe un k appartient à la classe Z tel que b = ka. On note a | b. Des définitions sont également apportées pour les divisions euclidiennes, les congruences, les diviseurs et multiples communs.

Extraits

[...] Arithmétique des entiers I. Divisibilité A. Généralités Définition : Soit . On dit que divise , ou que est un diviseur de , ou que est multiple de , ou que est divisible par , lorsqu'il existe un tel que . On note . Théorème : Soit . La relation de divisibilité est : réflexive : . transitive : si et , alors . pseudo- antisymétrique : si et , alors . si et , alors . Si et , alors . [...]

[...] L'ensemble des nombres premiers est noté . Lemme (Euclide) : Si Théorème : Tout entier plus grand que est produit de nombre premier. Théorème : est infini. B. Valuation p-adiques Définition : Soit . La valuation -adique de , notée , est l'entier : . Théorème : Soit , alors . Théorème : Soit . Théorème (Fermat) : Soit alors : . Si ne divise pas a : . Propriété : Il y a une infinité de nombre premiers congrus à modulo . [...]

[...] tout diviseur commun à et divise . Théorème : Si , il existe un unique pgcd de et positif. On le note . Propriété : B. Nombres premiers entre eux Définition : Soit . et sont premiers entre eux si . Théorème (Bézout) : Soit Théorème (Gauss) : Soit , Si et , alors . C. Plus petit commun multiple Définition : Soit . Si , (dit ppcm de et est . Si ou : . Théorème : Soit , . . [...]